Isomorphisme de comparaison de Berthelot-Ogus
dans Algèbre
Bonjour
Sur le lien suivant, https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/exposes/Theoremes_de_comparaison_et_representatons_galoisiennes.pdf , page, $ 2 $, le théorème d'isomorphisme de Berthlot-Ogus s'énonce comme suit.
On a un isomorphisme canonique, $$ \rho_{ \mathrm{cris} } \ : \ H_{ \mathrm{cris} }^{ i } (X) \otimes_{ K_{0} } K \to H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( \mathscr{X} ) \otimes_{O_K} K = H_{ \mathrm{dR} }^{ i } (X ) \tag 1
$$ D'un autre coté, sur le pdf suivant, https://www.jmilne.org/math/Books/DMOS.pdf , page, $ 3 59 $, l'auteur affirme qu'il existe l'isomorphisme, $$ H_{ \mathrm{DH} } (X) \otimes W \simeq H_{ \mathrm{cris} } (X(s) / W ) . \tag 2
$$ Quelle est la différence entre les deux isomorphismes $ (1) $ et $ (2) $ ? Est-ce qu'ils sont les mêmes ?
Merci d'avance.
Sur le lien suivant, https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/exposes/Theoremes_de_comparaison_et_representatons_galoisiennes.pdf , page, $ 2 $, le théorème d'isomorphisme de Berthlot-Ogus s'énonce comme suit.
On a un isomorphisme canonique, $$ \rho_{ \mathrm{cris} } \ : \ H_{ \mathrm{cris} }^{ i } (X) \otimes_{ K_{0} } K \to H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( \mathscr{X} ) \otimes_{O_K} K = H_{ \mathrm{dR} }^{ i } (X ) \tag 1
$$ D'un autre coté, sur le pdf suivant, https://www.jmilne.org/math/Books/DMOS.pdf , page, $ 3 59 $, l'auteur affirme qu'il existe l'isomorphisme, $$ H_{ \mathrm{DH} } (X) \otimes W \simeq H_{ \mathrm{cris} } (X(s) / W ) . \tag 2
$$ Quelle est la différence entre les deux isomorphismes $ (1) $ et $ (2) $ ? Est-ce qu'ils sont les mêmes ?
Merci d'avance.
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Réponses
Les deux isomorphismes sont peut être les mêmes, parce que, $ X $ , $ \mathscr{X} $ et $ X(s) $ sont liés par la formule ( si je ne m'abuse ) : $$ \mathscr{X} = ( X(s) )_{ s \in S } = S \times X(s) $$
$ \mathscr{X} $ est un modèle sur $ O_K $, de fibre générique, $ X (s) $, et d’espace de base $ S $. Est ce que c'est ça ?
Magnifique mélange de variables libres et de variables liées !
Je vous propose un énoncé de la conjecture d'Ogus, que j'aimerais que vous me corrigiez. Merci.
Voici l'énoncé.
Soit $ k $ un corps de nombres.
Soit $ R $ une $ \mathbb{Z} $-algèbre étale.
Soit $ X $ un $ R $-schéma projectif et lisse.
Soit $ R ' \supseteq R $ une autre $ \mathbb{Z} $-algèbre étale.
Soit $ s $ un point fermé de $ \mathrm{Spec} \ R' $, et $ k_{ \displaystyle s } = k_{ \displaystyle v } $ est la completion de $ R' $ en $ s : = v $.
On a l'isomorphisme, $$ H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( X / R ) \otimes_k k_{ \displaystyle v } \simeq H_{ \mathrm{cris} }^{i} ( X(s) / k_{ \displaystyle v } )
$$ $ H_{ \mathrm{cris} }^{ i } (X (s) / k_{ \displaystyle v } ) $ est un $ F_{ \displaystyle v } $ - cristal, donc, muni du Frobenius $ F_{ \displaystyle v } : \ H_{ \mathrm{cris} }^{i} ( X(s) / k_{ \displaystyle v } ) \to H_{ \mathrm{cris} }^{i} ( X(s) / k_{ \displaystyle v } ) $ défini par, $ F_{ \displaystyle v } (z) = p^r z $.
Donc, on peut transmettre ce Frobenius $ F_{ \displaystyle v } $, à $ H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( X / R ) \otimes_k k_{ \displaystyle v } $ par cet isomorphisme.
Soit, la class cycle map intégrale ( i.e, sur $ \mathbb{Z} $ ), défini par,
$$ \mathrm{cl}_X \ : \ \mathcal{Z}_{ \sim }^{ i } (X) \to \displaystyle \bigcup_{ v \in I } \displaystyle \Big( H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( X / R ) \otimes_k k_{ \displaystyle v } \displaystyle \Big)^{ \textstyle F_{ v} }, $$ où, $ \Big( H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( X / R ) \otimes_k k_{ \displaystyle v } \Big)^{ \textstyle F_{ v } } $ est le $ F_{ \displaystyle v } $ - cristal des $ F_{ \textstyle v } $ - invariants.
$ I $ est la collection ( si je ne m’abuse ) des places non ramifiées $ v $ de $ k $ ( i.e, des points fermés $ s $ de $ \mathrm{Spec} \ R' $ ).
Alors, la conjecture d'Ogus affirme que, la class cycle map rationnelle ( i.e, sur $ \mathbb{Q} $ ), qui est $ \mathrm{cl}_X \otimes \mathbb{Q} $ est surjective ?
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.
Merci d'avance.
Prenons $R'=\Z$. Donne un exemple de $s$. Que vaut $k_s$ ? Conclusion ?
Voici où j'ai trouvé cette appellation : https://www.jmilne.org/math/Books/DMOS.pdf , page : $ 359 $. Il y un passage là-bas qui dit :
Moreover, if $ s $ is a closed point of $ \mathrm{Spec} \ R' $ and $ W $ is the completion of $ R' $ at $ s $, then, via the canonical isomorphism : $ H_{ \mathrm{DR} } ( X/R ) \otimes W \simeq H_{ \mathrm{cris} } (X(s) / W ) $ , we get an action of absolute Frobenius $ \phi_{ \displaystyle s } $ on $ H_{ \mathrm{DR} } ( X/R ) \otimes W $ ...
Qu'est ce que, alors, $ W $ is the completion of $ R' $ at $ s $, que j’ai noté à tort, plus haut, par $ k_{ \displaystyle s } : = k_{ \displaystyle v } $, mais que cette notation est peut être fausse, vue que je confonds ces notions qui se ressemblent ?.
Je précise que $ s $ est un point fermé de $ \mathrm{Spec} \ R' $, signifie par définition, que $ s : = \mathfrak{m} $ est un idéal maximal de $ R' $.
Voilà c'est très bien. La première étape consiste justement à admettre que l'on a besoin d'aide : https://www.santepsy.ch/fr/pages/demander-de-l-aide-131
continue maintenant ne t'arrête pas en si bon chemin.
Merci d'avance.
Si $ s : = \mathfrak{m}_1 $ et $ r : = \mathfrak{m}_2 $ sont deux points fermés de $ \mathrm{Spec} \ R' $, est ce que, $ \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } R' / \mathfrak{m}_{ \displaystyle 1}^n = \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } R' / \mathfrak{m}_{ \displaystyle 2}^n $ ?
Merci d'avance.
Merci d'avance.
... $ W $ semble rester constant lorsqu'on fait varier, $ s : = \mathfrak{m} $. D'où, ma question,
Si $ s : = \mathfrak{m}_1 $ et $ r : = \mathfrak{m}_2 $ sont deux points fermés de $ \mathrm{Spec} \ R' $, est ce que, $ \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } R' / \mathfrak{m}_{ \displaystyle 1}^n = \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } R' / \mathfrak{m}_{ \displaystyle 2}^n $ ?