Isomorphisme de comparaison de Berthelot-Ogus

Oui, Poirot. Les symboles ne sont pas les mêmes, mais désignent à peu près la meme chose.
Les deux isomorphismes sont peut être les mêmes, parce que, $ X $ , $ \mathscr{X} $ et $ X(s) $ sont liés par la formule ( si je ne m'abuse ) : $$ \mathscr{X} = ( X(s) )_{ s \in S } = S \times X(s) $$
$ \mathscr{X} $ est un modèle sur $ O_K $, de fibre générique, $ X (s) $, et d’espace de base $ S $. Est ce que c'est ça ?

Non, il n y a pas un mélange de variables Poirot il me semble, parce que, il existe $ X $ un schéma tel que, pour tout $ s \in S $, $ X(s) \simeq X $ que je n'ai pas précisé au début. ;-)

Bonsoir
Je vous propose un énoncé de la conjecture d'Ogus, que j'aimerais que vous me corrigiez. Merci.
Voici l'énoncé.

Soit $ k $ un corps de nombres.
Soit $ R $ une $ \mathbb{Z} $-algèbre étale.
Soit $ X $ un $ R $-schéma projectif et lisse.
Soit $ R ' \supseteq R $ une autre $ \mathbb{Z} $-algèbre étale.
Soit $ s $ un point fermé de $ \mathrm{Spec} \ R' $, et $ k_{ \displaystyle s } = k_{ \displaystyle v } $ est la completion de $ R' $ en $ s : = v $.
On a l'isomorphisme, $$ H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( X / R ) \otimes_k k_{ \displaystyle v } \simeq H_{ \mathrm{cris} }^{i} ( X(s) / k_{ \displaystyle v } )
$$ $ H_{ \mathrm{cris} }^{ i } (X (s) / k_{ \displaystyle v } ) $ est un $ F_{ \displaystyle v } $ - cristal, donc, muni du Frobenius $ F_{ \displaystyle v } : \ H_{ \mathrm{cris} }^{i} ( X(s) / k_{ \displaystyle v } ) \to H_{ \mathrm{cris} }^{i} ( X(s) / k_{ \displaystyle v } ) $ défini par, $ F_{ \displaystyle v } (z) = p^r z $.
Donc, on peut transmettre ce Frobenius $ F_{ \displaystyle v } $, à $ H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( X / R ) \otimes_k k_{ \displaystyle v } $ par cet isomorphisme.
Soit, la class cycle map intégrale ( i.e, sur $ \mathbb{Z} $ ), défini par,
$$ \mathrm{cl}_X \ : \ \mathcal{Z}_{ \sim }^{ i } (X) \to \displaystyle \bigcup_{ v \in I } \displaystyle \Big( H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( X / R ) \otimes_k k_{ \displaystyle v } \displaystyle \Big)^{ \textstyle F_{ v} }, $$ où, $ \Big( H_{ \mathrm{dR} }^{ i } ( X / R ) \otimes_k k_{ \displaystyle v } \Big)^{ \textstyle F_{ v } } $ est le $ F_{ \displaystyle v } $ - cristal des $ F_{ \textstyle v } $ - invariants.
$ I $ est la collection ( si je ne m’abuse ) des places non ramifiées $ v $ de $ k $ ( i.e, des points fermés $ s $ de $ \mathrm{Spec} \ R' $ ).
Alors, la conjecture d'Ogus affirme que, la class cycle map rationnelle ( i.e, sur $ \mathbb{Q} $ ), qui est $ \mathrm{cl}_X \otimes \mathbb{Q} $ est surjective ?

Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

On a, $ \mathbb{Z}_{(p)} \subseteq \mathbb{Z}_{(p^{2})} $, et $ \mathbb{Z}_{(p^{2})} $ est entière sur $ \mathbb{Z}_{(p)} $, donc, $ \mathrm{dim} \ \mathbb{Z}_{(p)} = \mathrm{dim} \ \mathbb{Z}_{(p^{2})} $ ( La dimension ici, est la dimension de Krull ), et donc, $ \mathbb{Z}_{(p)} \simeq \mathbb{Z}_{(p^{2})} $. Est ce que c'est ça @Math Coss ?

Le localisé de $ \mathbb{Z} $ en $ (p^2 ) $. N'est-t-il pas la complétion de $ \mathbb{Z} $ en $ (p^2 ) $ ?

S'il te plaît Poirot, j’ai besoin d'aide. Quelle est la définition de la notion de complétion d'un anneau $ R $ en $ s $ ?
Voici où j'ai trouvé cette appellation : https://www.jmilne.org/math/Books/DMOS.pdf , page : $ 359 $. Il y un passage là-bas qui dit :

Moreover, if $ s $ is a closed point of $ \mathrm{Spec} \ R' $ and $ W $ is the completion of $ R' $ at $ s $, then, via the canonical isomorphism : $ H_{ \mathrm{DR} } ( X/R ) \otimes W \simeq H_{ \mathrm{cris} } (X(s) / W ) $ , we get an action of absolute Frobenius $ \phi_{ \displaystyle s } $ on $ H_{ \mathrm{DR} } ( X/R ) \otimes W $ ...

Qu'est ce que, alors, $ W $ is the completion of $ R' $ at $ s $, que j’ai noté à tort, plus haut, par $ k_{ \displaystyle s } : = k_{ \displaystyle v } $, mais que cette notation est peut être fausse, vue que je confonds ces notions qui se ressemblent ?.

Je précise que $ s $ est un point fermé de $ \mathrm{Spec} \ R' $, signifie par définition, que $ s : = \mathfrak{m} $ est un idéal maximal de $ R' $.

$ W $ is the complétion of $ R' $ at $ s := \mathfrak{m} $ signifie peut être que, $ W = \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } R' / \mathfrak{m}^n $. Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Quant a-t-on $ \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } R' / \mathfrak{m}_{ \displaystyle 1}^n = \displaystyle \lim_{ \longleftarrow } R' / \mathfrak{m}_{ \displaystyle 2}^n $ lorsque, $ \mathfrak{m}_{ \displaystyle 1} \neq \mathfrak{m}_{ \displaystyle 2} $ ?
Merci d'avance.