Continuité des racines
Bonjour
Je cherche à montrer de manière accessible la continuité des racines d'un polynôme par rapport aux coefficients.
Pour cela je commence par montrer la continuité au voisinage d'un polynôme $P$ scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$.
En notant $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ les racines de $P$ et en choisissant des réels $y_1,\ldots, y_n$ tels que $y_1 < x_1 < y_2 < \cdots < x_n < y_{n+1}$ on considère l'application
$$\begin{array}{cccl}
\phi :&\mathbb{R}_n[X]&\longrightarrow& \mathbb{C}^n\\
&Q &\longmapsto & \big(Q(y_1)Q(y_2),\ldots,Q(y_n)Q(y_{n+1})\big)
\end{array}
$$ On a $\phi(P) \in (\mathbb{R}^*_-)^n$ et $(\mathbb{R}^*_-)^n$ est ouvert donc on peut trouver un voisinage de $P$ contenant uniquement des polynômes scindés à racines simples. Pour la continuité de la $k$-ème racine il suffit de choisir $y_k$ et $y_{k+1}$ suffisamment proche.
Donc à ce stade on a montré que la fonction qui à un polynôme associe ses racines est continue au voisinage des polynômes scindés à racines simples.
Maintenant j'aimerais bien pouvoir étendre cette continuité partout, mais même si l'ensemble des polynômes scindés à racines simples de degré au plus $n$ sur $\mathbb{R}$ était dense dans $\mathbb{R}_n[X]$ (ce qui est faux pour $\mathbb{R}$ mais pas pour $\mathbb{C}$ je pense) je ne pense pas pouvoir passer d'une continuité locale à globale.
Avez-vous une piste pour :
- Adapter le début de la preuve pour travailler sur $\mathbb{C}$
- Passer d'une continuité locale à globale
Je suis assez pessimiste sur ces deux points mais on ne sait jamais ...
Sinon avez-vous une preuve de la continuité sans utiliser des notions de calcul différentiel comme le théorème des fonctions implicites (je suis en prépa et j'aimerais bien avoir une démonstration se basant uniquement sur les outils du programme)
Merci d'avance
Je cherche à montrer de manière accessible la continuité des racines d'un polynôme par rapport aux coefficients.
Pour cela je commence par montrer la continuité au voisinage d'un polynôme $P$ scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$.
En notant $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ les racines de $P$ et en choisissant des réels $y_1,\ldots, y_n$ tels que $y_1 < x_1 < y_2 < \cdots < x_n < y_{n+1}$ on considère l'application
$$\begin{array}{cccl}
\phi :&\mathbb{R}_n[X]&\longrightarrow& \mathbb{C}^n\\
&Q &\longmapsto & \big(Q(y_1)Q(y_2),\ldots,Q(y_n)Q(y_{n+1})\big)
\end{array}
$$ On a $\phi(P) \in (\mathbb{R}^*_-)^n$ et $(\mathbb{R}^*_-)^n$ est ouvert donc on peut trouver un voisinage de $P$ contenant uniquement des polynômes scindés à racines simples. Pour la continuité de la $k$-ème racine il suffit de choisir $y_k$ et $y_{k+1}$ suffisamment proche.
Donc à ce stade on a montré que la fonction qui à un polynôme associe ses racines est continue au voisinage des polynômes scindés à racines simples.
Maintenant j'aimerais bien pouvoir étendre cette continuité partout, mais même si l'ensemble des polynômes scindés à racines simples de degré au plus $n$ sur $\mathbb{R}$ était dense dans $\mathbb{R}_n[X]$ (ce qui est faux pour $\mathbb{R}$ mais pas pour $\mathbb{C}$ je pense) je ne pense pas pouvoir passer d'une continuité locale à globale.
Avez-vous une piste pour :
- Adapter le début de la preuve pour travailler sur $\mathbb{C}$
- Passer d'une continuité locale à globale
Je suis assez pessimiste sur ces deux points mais on ne sait jamais ...
Sinon avez-vous une preuve de la continuité sans utiliser des notions de calcul différentiel comme le théorème des fonctions implicites (je suis en prépa et j'aimerais bien avoir une démonstration se basant uniquement sur les outils du programme)
Merci d'avance
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Réponses
$$\dfrac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi} \dfrac{P'(a+re^{i\theta})}{P(a+re^{i\theta})} re^{i\theta}\,d\theta.$$
Soit $a\in\C$ une racine de $P$. Pour tout $n\in\N$, on note $a_n\in\C$ une des racines de $P_n$ la plus proche de $a$. En décomposant en produit de facteurs irréductibles dans $\C[X]$, on a directement
\[ |P_n(a)| \geq |a_n - a|^d,\]
donc la suite $(a_n)_{n\in\N}$ converge vers $a$. Pour conclure, il suffit de justifier que la suite de terme général $P_n/(X-a_n)$ converge vers $P/(X-a)$.