Endomorphisme f
Réponses
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Calcule $f\circ f$.
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qu'est ce que je dois conclure ?
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Tes égalités n'ont pas de sens. $f \circ f$ est une application linéaire, $f(v_{k+2})$ ou encore $v_{k-2}$ sont des vecteurs.
En effaçant les "$f \circ f$" de la colonne de gauche, ton résultat est erroné. Si $k$ est impair, quelle est la parité de $k+1$ ? Même question si $k$ est pair. -
Calcule déjà $f\circ f(v_1)$ et $f\circ f(v_2)$.
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donc fof(Vk)=Vk
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Et donc tu tiens un polynôme annulateur de $f$ de degré $2$...
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Comment on a déduit que le polynôme minimal est un polynôme de 2ème degré, c'est quoi le théorème appliquer ?? Pourquoi on a calculé la fonction composée $f\circ f$ ??
[Prière d'éviter le SMS. Merci. AD] -
Tu viens de démontrer que $f\circ f= Id$, ce qui veut dire que $X^2-1$ annule l'endomorphisme $f$.
Tu peux en déduire qu'il n'y a que trois candidats pour le polynôme minimal. As-tu une idée de comment y arriver? -
Le truc à bien comprendre est le suivant : si $P(X)=\sum_{i \geq 0} a_iX^i$ est un polynôme l'endomorphisme associé $P(f)$ est défini par $P(f)=\sum_{i \geq 0} a_i f^i$ avec $f^2=f \circ f$ ... et surtout $f^0=id$.
Dans ton exemple, le fait que $f \circ f=id$ traduit le fait que le polynôme $X^2-1$ annule $f$, le polynôme minimal de $f$ est donc un diviseur de $X^2-1$ ...
A+
F. -
Oui , c'est clair pourquoi le polynôme X^2-1 est un polynôme minimal de f.
Tu as une idée sur le polynôme caractéristique demandé en question 3 ? -
merci pour la justification.
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Attention, il n'y a qu'un seul polynôme minimal, donc on dit le polynôme minimal.
Je n'avais pas fait attention, mais la question 2 est affreusement mal posée...
En ce qui concerne le polynôme caractéristique, tu peux trouver facilement la matrice de $f$ dans une base convenable adaptée à la décomposition $E = E_1 \oplus \dots \oplus E_n$. -
oui exactement le polynôme minimal est unique .
pour la matrice de f on peut la déterminer directement par le fait que fof=Id[small]E[/small] ? -
Certainement pas. Fais comme je t'ai dit. Quels sont tes $E_i$ ?
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E[small]1[/small]= ker(f-Id[small]E[/small]) et E[small]2[/small]= ker(f+Id[small]E[/small]) c'est le résultat que j'ai trouvé dans la question 2
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Tu ne donnes que deux $E_i$ alors qu'il en faut $n$. Ces espaces n'ont aucune raison d'être de dimension $2$ en plus (ils sont de dimension $n$ d'ailleurs). Tu n'as pas compris la question 2) il me semble.
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Mais dans la question 2, ils ont demandé une somme directe de sous-espaces vectoriels de dimension 2.
Mais par contre dans la question 3 on considère qu'il existe n sous-espaces vectoriels tels que la restriction de f dans chaque E[small]i[/small] a le même polynôme minimal. -
Donc comment peut determiner la matrice de f ou plutôt le polynôme caractéristique
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La question E) est mal posée, mais tu ne l'as pas comprise. On te demande une décomposition de $E$ en somme directe de sous-espaces qui sont de dimension $2$, pas en somme directe de deux sous-espaces. Réfléchis à une telle décomposition qui provient des $v_i$, où les $E_i$ sont stables par $f$, et où la restriction de $f$ à chaque $E_i$ a pour polynôme minimal $X^2-1$.
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Mais dans notre cas le polynôme annulateur se décompose en deux polynômes premiers entre eux (X-1)(X+1), alors E se décompose en somme directe de deux sous-espaces vectoriel qui sont E1= ker(f-IdE) et E2= ker(f+IdE).
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Oui, mais ce n'est pas ce qui est demandé !!! Crois-tu qu'il existe une seule décomposition d'un espace vectoriel en somme directe de sous-espaces vectoriels ?
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Voila ,j'ai trouvé le meme résultat
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Cette correction n'a rien à voir avec ton exercice...
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Donc c'est quoi cette décomposition de E en somme direct de sous-espaces vectoriels ?
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Réfléchis un peu. Ne vois-tu pas un sous-espace de dimension $2$ évident sur lequel $f$ a pour polynôme minimal $X^2-1$ ? C'est équivalent à $f \circ f = id$ et $f \neq \pm id$. Une fois que tu en as trouvé un, les autres sont tout aussi évidents.
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Par exemple le sous-espace engendré par les vecteurs V=(-1;0)+W=(0;1) ?
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Tu ne travailles pas dans $\mathbb R^2$, c'est quoi $(-1, 0)$ ?
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j'ai trouve le résultat suivant :
E[small]i[/small] =vect(V[small]2i-1[/small];V[small]2i[/small] ) -
Oui, ces $E_i$ conviennent.
Pourquoi as-tu retiré les photos de tes deux premiers messages ? -
la voila j'ai la retirée par erreur
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Alors, à quoi ressemble la matrice de $f$ dans une base évidente adaptée à la décomposition $E = E_1 \oplus \dots \oplus E_n$ ?
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vo
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C'est ça (il faudrait préciser la base). Peux-tu calculer le polynôme caractéristique maintenant ?
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c'est X2-1
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Le polynôme caractéristique d'une matrice $n \times n$ est de quel degré ?
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j'ai commis une erreur . si P est polynôme caractéristique de la matrice A associée a f
alors P(X)=det( A-I[small]n[/small]X) =(X-1)n(X+1) n
il est de taille n -
On parle de degré, pas de taille. Et oui, c'est ça.
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