Critère d'Eisenstein

Bonjour
J'étudie le critère d'Eisenstein.

Soit $A=a_nX^n+ \dots + a_1X+a_0 \in \Z[X]$ et $p$ un nombre premier.
On suppose que :
(i) $p$ ne divise pas $a_n$ ;
(ii) $p$ divise $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$;
(iii) $p^2$ ne divise pas $a_0$.
Alors $A$ est irréductible dans $\Q[X]$.

J'ai montré que : si $A\in \Z[X]$ est irréductible dans $\Z[X]$, il est irréductible dans $\Q[X]$.

Je raisonne par l'absurde et suppose $A$ réductible dans $\Q[X]$. $A$ est alors réductible dans $\Z[X]$.
Donc il existe $B$ et $C$ dans $\Z[X]$, tels que \[A=BC \quad \mbox{avec} \quad q=\mbox{deg}(B)\geq 1 \quad \mbox{et} \quad r=\mbox{deg}(C)\geq 1.

\] Écrivons $\displaystyle B= \sum_{k=0}^q b_kX^k,\quad C= \sum_{k=0}^r c_kX^k$.
Je montre que les polynômes $\overline{B}$ et $\overline{C}$ sont de degrés respectifs $q$ et $r$.
C'est ce morceau de mon corrigé que je ne comprends pas.

corrigé a écrit:

Par unicité de la décomposition en irréductibles dans $\Z/p\Z[X]$, on a : \[\overline{B}=\overline{b_q}X^q\ \quad \mbox{et} \quad \overline{C}=\overline{c_r}X^r.\]

On a : $\overline{a_n}X^n=\overline{A}=\overline{B}\;\overline{C}$ mais rien n'indique que cette décomposition est une décomposition en irréductibles donc je ne comprends pas bien l'argument.

Ou quelque chose m'échappe ?