Endomorphismes à trouver (bis)

Le nom de ce théorème comporte deux patronymes distincts de deux auteurs différents. Le deuxième est le nom d'un mathématicien Danois si je ne m'abuse.
Shulmann ou Shinnerman ou un truc comme ça.

Tu peux te calmer un peu toi le temps que je me souviens de ce nom ?

Voir ici, http://www.lalgebrisant.fr/images/pdfArticles/Automorphismes.pdf

@marsup,

marsup a écrit:

Les endomorphismes $M \mapsto P \cdot M \cdot Q$ dépendent des paramètres $P,Q$, pour une dimension totale $2 \times n^2$.

Je n'ai pas compris comment tu as trouvé que la dimension totale vaut $ 2n^2 $. Peux tu m'expliquer pourquoi ça vaut $ 2n^2 $ ?
Merci d'avance.

Poirot a écrit:

Tu ne sais pas déterminer la dimension de $\mathcal M_n(\mathbb C) \times \mathcal M_n(\mathbb C)$ ?

Quel est le rôle de $ \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) \times \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) $ ici Poirot ? Je n'ai pas compris.

Soit $ X \in M_n (\C) $,
On considère l'ensemble, $$ F_X =\{f\in\mathcal{L}(M_n(\C)), f(X)X=Xf(X)\} $$
$ F_X $ se met sous la forme, $$ F_X =\{f\in\mathcal{L}(M_n(\C)),, \forall P \in \mathbb{C} [ X ] ,f(X) \circ P(X)=P(X) \circ f(X)\} $$
On pose, $$ G_X= \{Q\in \mathbb{C} [ X ] , \forall P \in \mathbb{C} [ X ] ,Q(X) \circ P(X)=P(X) \circ Q(X) \} $$
D'après le théorème de Stone-Weistrass, $$ F_X = \overline{G_{X}} $$ pour la norme, $ ||f|| = \displaystyle \sup_{ f \neq 0 } |f(X)| $, par exemple.
Or, $ G_X = Z ( \mathbb{C} [X] ) $ ( Le centre de $ \mathbb{C} [X] $ )
D'où, $$ F_X = \overline{Z ( \mathbb{C} [X] )} $$
Or,
$ Z ( \mathbb{C} [X] ) = \{Q\in \mathbb{C} [ X ] , \forall P \in \mathbb{C} [ X ] ,Q(X) \circ P(X)=P(X) \circ Q(X) \} $
$ = \{Q\in \mathbb{C} [ X ] , \forall P \in \mathbb{C} [ X ] , Q(X) \circ P(X) - P(X) \circ Q(X) = [Q , P ] (X) = 0 \} = \displaystyle \bigcap_{ P \in \mathbb{C} [ X ] } g_{P}^{ -1} ( \{ 0 \} ) $
où, $ g_P \ : \ \mathbb{C} [ X ] \to \mathbb{C} [ X ] $ est une application définie par, $$ g_P (Q) = [Q,P] (X) = Q(X) \circ P(X) - P(X) \circ Q(X) $$ pour tout $ P \in \mathbb{C} [ X ] $, qui est une application linéaire continue sur $ \mathbb{C} [X] $ pour la topologie engendrée par la norme, $ ||P|| = \displaystyle \sup_{ P \neq 0 } |P(X)| $.
Or, $ \{ 0 \} $ est un fermé de $ \mathbb{C}[X] $ pour cette topologie ( séparée si je ne m’abuse ).
Donc, $ Z ( \mathbb{C} [X] ) $ est aussi un fermé de $ \mathbb{C}[X] $ pour cette topologie.
Par conséquent, $$ \overline{Z ( \mathbb{C} [X] )} = Z ( \mathbb{C} [X] ) $$.
D'où, $$ F_X = Z ( \mathbb{C} [X] ) $$
Ce qui répond à l'exercice de @etanche qui figure ici, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2214562,2214562#msg-2214562 .
Est ce que c'est correct ?
Merci d'avance.
:-)

Est ce que quelqu'un peut me corriger ? :-)
Merci.