Théorie de Galois - extensions

$\mathbb Q\subset \mathbb Q(\exp(i2\pi/n))$ est abélienne donc $\mathbb Q\subset \mathbb Q(\cos(2\pi/n))$ est galoisienne.

Je te conseille de calculer $(X-z_n)(X-z_n^{-1})$ avec $z_n = \exp( i 2 \pi/n)$.

Le gros groupe est abélien.

Je note $\zeta_n = e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Il est bien connu que le groupe de Galois de $\mathbb Q(\zeta_n)$ sur $\mathbb Q$ est isomorphe à $\left(\mathbb Z/n \mathbb Z\right)^{\times}$ via $k \mapsto (\zeta_n \mapsto \zeta_n^k)$. Il suffit de voir que ce morphisme est injectif, et qu'il y a égalité des ordres de ces deux groupes. Le fait que $|\mathrm{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)| = [\mathbb Q(\zeta_n) : \mathbb Q] = \varphi(n)$ vient de l'irréductibilité du $n$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_n$, qui est le polynôme minimal de $\zeta_n$.

Euler pourrait t'aider...

Attention avec les articles : il existe plusieurs racines primitives $n$-ièmes de l'unité (les seules exceptions sont $n=1$ et $n=2$) donc la locution « la racine primitive » n'a pas de sens. En notant $\zeta_1=\exp\frac{2\mathrm{i}\pi}{n}$, rien ne dit que $\zeta=\zeta_1$ ; cependant, cela n'a pas d'importance car $\Q[\zeta]=\Q[\zeta_1]$ (pourquoi ?).

Saurais-tu montrer que $\Q\bigl[\cos\frac{2\pi}n\bigr]$ est strictement inclus dans $\Q[\zeta]$ ? Saurais-tu traduire l'indication comme une équation portant sur $\zeta_1$, à coefficients dans $\Q\bigl[\cos\frac{2\pi}n\bigr]$ et de degré, disons, $2$ ? Ces éléments ne seraient-ils pas suffisant pour conclure ?

Nxtxn: Lire la réponse de Gai Requin