Théorie de Galois - extensions
Réponses
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As-tu essayé d'utiliser les polynômes de Tchebychev ($T_n$ tels que $T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta)$) ?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
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$\mathbb Q\subset \mathbb Q(\exp(i2\pi/n))$ est abélienne donc $\mathbb Q\subset \mathbb Q(\cos(2\pi/n))$ est galoisienne.
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Merci à vous!
Pourriez-vous cependant expliciter le lien entre ces 2 extensions ? -
Je te conseille de calculer $(X-z_n)(X-z_n^{-1})$ avec $z_n = \exp( i 2 \pi/n)$.
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Bonjour,
Comment démontrer que $G_{\mathbb{Q}(\cos(\frac{2\pi}{n}))}^{\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi}{n}i})}$ est un sous-groupe normal de $G_{\mathbb{Q}}^{\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi}{n}i})}$
Merci d'avance! -
Le gros groupe est abélien.
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Comment le justifier ?
Merci d'avance -
Je note $\zeta_n = e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Il est bien connu que le groupe de Galois de $\mathbb Q(\zeta_n)$ sur $\mathbb Q$ est isomorphe à $\left(\mathbb Z/n \mathbb Z\right)^{\times}$ via $k \mapsto (\zeta_n \mapsto \zeta_n^k)$. Il suffit de voir que ce morphisme est injectif, et qu'il y a égalité des ordres de ces deux groupes. Le fait que $|\mathrm{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q)| = [\mathbb Q(\zeta_n) : \mathbb Q] = \varphi(n)$ vient de l'irréductibilité du $n$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_n$, qui est le polynôme minimal de $\zeta_n$.
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Merci pour ces précisions!
Cependant, je m'interroge toujours sur le lien exact (dans un vocabulaire algébrique) entre ${\mathbb{Q}(\cos(\frac{2\pi}{n}))}$ et ${\mathbb{Q}(e^{\frac{2i\pi}{n}})}$ ?
Pourriez-vous m'éclairer ? -
Euler pourrait t'aider...
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Si c'est juste une question de vocabulaire, le premier est appelé sous-corps réel maximal du second.
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Puis-je en déduire que le premier est inclus dans le deuxième alors ? ou c'est incorrect ?
Merci d'avance -
Ah mais c'est ça qui te gêne depuis le début ? Ne sais-tu pas que pour tout $x$ réel on a $\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ ?
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Oui, j'avais déjà pris connaissance de cette relation.
Cependant, c'est vraiment la question de l'inclusion qui me perturbe...
Qu'est-ce que cette relation implique en termes d'inclusion ?
Merci d'avance! -
Elle montre que $\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) \in \mathbb Q\left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)$ pardi !
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Soit $\zeta \in \mathbb{C}$ la racine primitive $n^{ième}$ de l'unité.
Quel est le polynôme minimal de $\zeta$ dans $\mathbb{Q}(cos(\frac{2\pi}{n}))$ ?
[Ne pas ouvrir deux discussions avec le même sujet ! AD] -
Soit $z$ un complexe non réel. Quel est son polynôme minimal dans $\mathbb R$ ? Quels sont ses coefficients ?
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Soit $\zeta \in \mathbb{C}$ la racine primitive $n^{ième}$ de l'unité.
Comment pourrait-on démontrer que $[\mathbb{Q}(\zeta) : \mathbb{Q}(\cos(\frac{2\pi}{n}))] = 2$ ?
Indication : $\cos(\frac{2\pi}{n})=\frac{e^{\frac{2i\pi}{n}}+e^{\frac{-2i\pi}{n}}}{2}$ -
$\overline\zeta=\dfrac 1\zeta$.
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Attention avec les articles : il existe plusieurs racines primitives $n$-ièmes de l'unité (les seules exceptions sont $n=1$ et $n=2$) donc la locution « la racine primitive » n'a pas de sens. En notant $\zeta_1=\exp\frac{2\mathrm{i}\pi}{n}$, rien ne dit que $\zeta=\zeta_1$ ; cependant, cela n'a pas d'importance car $\Q[\zeta]=\Q[\zeta_1]$ (pourquoi ?).
Saurais-tu montrer que $\Q\bigl[\cos\frac{2\pi}n\bigr]$ est strictement inclus dans $\Q[\zeta]$ ? Saurais-tu traduire l'indication comme une équation portant sur $\zeta_1$, à coefficients dans $\Q\bigl[\cos\frac{2\pi}n\bigr]$ et de degré, disons, $2$ ? Ces éléments ne seraient-ils pas suffisant pour conclure ? -
Cf. l'indication de ton propre message.
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Bonjour!
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