Interpolation de Lagrange

kazeriahm a écrit:

Attention à ne pas écrire n'importe quoi : une fonction analytique sur un domaine ouvert est développable en série entière au voisinage de tous les points de l'ouvert mais le rayon de convergence n'a aucune raison d'être infini.

D'accord. Merci pour ta réponse.
Traduit mathématiquement, ça donne,
Une fonction analytique localement développable en série entière n'est pas forcément globalement développable en série entière. En as-tu un exemple @kazeriahm ?

Je reprends : J'ai comme hypothèse, $ f $ est globalement développable en série entière ( Regardez les hypothèses du premier message du fil ). N'est ce pas ? Donc, forcément, $ f $ est développable au voisinage de $ 0 $. Donc, $ \displaystyle \hat{f} (n) = \dfrac{f^{(n)} (0) }{n!} $ existe pour tout $ n \in \mathbb{N} $.

@Poirot,
Parce que, c'est une hypothèse, j'ai droit de supposer $ f $ de rayon de convergence infini.
On ne cherche pas la véracité dans les hypothèses, mais dans les conclusions. Non ? 8-)

Je ne comprends pas du tout @Poirot. :-D
$ f $ est analytique sur $ \mathbb{R} $, donc, analytique au voisinage de $ 0 $, donc, se met sous la forme, $
f(x) = \sum_{ n \geq 0 } \hat{f} (n) \ x^n $, pour tout $ x \in \mathbb{R} $ de rayon de convergence $ R = + \infty $.

Alors, pouvez maintenant répondre à la question de départ, après avoir corrigé l'énoncé ?
Merci d’avance.

Pourquoi $ L_i $, et non $ L $ ? ... parce qu'il n y a pas qu'un seul polynôme de Lagrange, mais plusieurs. Regarde ce qu'a écrit @reg dans le fil indiqué plus haut.

Où est le problème FdP ?

Qu'est ce que je calcule @Héhéhé ?

Oui, ils dépendent de $ f $, parce que ce sont des coefficients de Fourier. J'ai noté ensuite, $ c (f) (n) = \dfrac{1}{2 \pi } \int_{0}^{ 2 \pi } f(t) e^{ - i n t } dt $. Regarde mon premier message. Ces termes désignent les transformées de Fourier de $ f $ dans l'intervalle $ [0, 2 \pi ] $, donc dépendent de $ f $. Je ne pense pas que ce soit ça ce que voulait signaler @FdP.

$ c( \cos ) (1) = \dfrac{1}{2 \pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \cos (t) e^{ - it } dt = \dfrac{1}{2 \pi} \Big( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \cos (t) \cos (t) dt - i \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \cos (t) \sin (t) dt \Big) $
$ = \dfrac{1}{2 \pi} \Big( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \cos^2 (t) dt - i \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \sin (2t) dt \Big) $
$ = \dfrac{1}{2 \pi} \Big( \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } ( \cos (2t) + 1 ) dt - i \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \sin (2t) dt \Big) $
$ = \dfrac{1}{2 \pi} \Big( \dfrac{1}{2} \displaystyle [ \dfrac{1}{2} \sin ( 2t ) + t ]_{0}^{2 \pi } - i \dfrac{1}{2} \displaystyle [ - \dfrac{1}{2} \cos ( 2t ) ]_{0}^{2 \pi } \Big) = \dfrac{1}{2} $

$ c( \cos ) (-1) = \dfrac{1}{2 \pi} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \cos (t) e^{ - it } dt = \dfrac{1}{2 \pi} \Big( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \cos (t) \cos (t) dt + i \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \cos (t) \sin (t) dt \Big) $
$ = \dfrac{1}{2 \pi} \Big( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \cos^2 (t) dt + i \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \sin (2t) dt \Big) $
$ = \dfrac{1}{2 \pi} \Big( \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } ( \cos (2t) + 1 ) dt + i \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \sin (2t) dt \Big) $
$ = \dfrac{1}{2 \pi} \Big( \dfrac{1}{2} \displaystyle [ \dfrac{1}{2} \sin ( 2t ) + t ]_{0}^{2 \pi } + i \dfrac{1}{2} \displaystyle [ - \dfrac{1}{2} \cos ( 2t ) ]_{0}^{2 \pi } \Big) = \dfrac{1}{2}$

Est ce que ce calcul est correct ? FdP ? Héhéhé ?

Qu'est ce qu'un espace de Hardy Poirot ?

Edit, Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Hardy

Je reformule ma question du début du fil : ( Je l'ai mal exprimée au début )

Soit $ \mathcal{C}^0 ( [0,2 \pi ] ) $ l'espace des fonctions continues, $ 2 \pi $ - périodiques, qui est si je ne m'abuse, aussi l'espace développable en séries de Fourier.
Soit $ \mathcal{H}^2 ( \mathbb{D} ) $ l'espace de Hardy qui figure ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Hardy .
Est ce que, $ \mathcal{C}^0 ( [0,2 \pi ] ) $ et $ \mathcal{H}^2 ( \mathbb{D} ) $ sont isomorphes ?

Merci d'avance.

On considère l'application $$ \begin{array}{cccl}
\Phi : & \mathcal{C}^0 ( ] - \pi , \pi [ )_{ ] - \pi , \pi [ , 0 } &\longrightarrow& \ell^2 ( \mathbb{Z} ) \\
& f& \longmapsto &( f(a_n) )_{ n \in \mathbb{Z} }
\end{array}
$$ $ \mathcal{C}^0 ( ] 0 , 2 \pi [ )_{ ] - \pi , \pi [ , 0 } = \mathbb{R} \{ x , x^{-1} \} $ est la tige en $ 0 $, du faisceau $ \mathcal{C}^0 $.
La matrice de $\Phi$ dans la base $(x^{m})_{ m \in \mathbb{Z} } $ est la matrice $ A $ qui s'écrit $( \Phi(x^m))_{ m \in \mathbb{Z} } $. C'est la matrice de Vandermonde: $ A= ( a_{n}^{m} )_{ m,n \in \mathbb{Z} } $ de taille dénombrable.

On notera que les polynômes trigonométriques $ ( e_{n} )_{ n \in \mathbb{Z} } $ forment une base de $ \mathcal{C}^0 ( ] 0 , 2 \pi [ )_{ ] - \pi , \pi [ , 0 } = \mathbb{R} \{ x , x^{-1} \}.$ où, pour tout $ n \in \mathbb{Z} $, $ e_n (x) = e^{ i n x } $.
Il est difficile à priori d'inverser la matrice de Vandermonde de taille dénombrable, mais en exprimant $A$ dans la base des polynômes trigonométriques, c'est la matrice identité $ \displaystyle \lim_{ |n|, |m| \to + \infty } I_{n,m}$.
Pour rappel, $e_i(a_j)= ( e^{ i a_{j} } )^{ i } $. Donc,
...;
$\Phi(e_{-n} )=( x \mapsto x^{-n} ) $;
...;
$\Phi(e_{-2} )=( x \mapsto x^{-2} ) $;
$\Phi(e_{-1} )=( x \mapsto x^{-1} ) $;
$\Phi(e_{0} )=( x \mapsto1 ) $;
$\Phi(e_1)=( x \mapsto x ) $;
$\Phi(e_2)=( x \mapsto x^2 ) $;
...;
$\Phi(e_n)= ( x \mapsto x^n ) $.
...,

Donc, les objets qui jouent le rôle des polynômes de Lagrange sont les polynômes trigonométriques $ (e_n)_{ n \in \mathbb{Z} } $. :-)

Source : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,894747,1738800#msg-1738800