Extension de corps algébrique
Bonjour
Est-ce que ma résolution d'exercice est juste s'il vous plaît ?
Enoncé.
Soit $\mathbb{L} = \mathbb{K}(\alpha_1 , \ldots, \alpha_n)$.
Démontrer que $[\mathbb{L} : \mathbb{K}]$ est fini ssi $\alpha_1$ est algébrique sur $\mathbb{K}$ et si pour tout $i \in \{2, \ldots, n\},\ \alpha_i$ est algébrique sur $\mathbb{K}(\alpha_1 , \ldots, \alpha_{i-1})$.
Démonstration.
Sens direct
On a $[\mathbb{L} : \mathbb{K}] = \prod_{i = 1}^n [\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) : \mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})]$
Donc $\forall i \in \{2,\ldots,n\},\ [\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) : \mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})] < \infty$.
Par conséquent, $\alpha_1$ algébrique sur $\mathbb{K}$ et $\forall i \in \{2,\ldots,n\},\ \alpha_i$ algébrique sur $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})$.
Sens indirect
On a $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i})$ extension de $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})$. Or, $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) = \mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})(\alpha_i)$ et $\alpha_i$ est algébrique sur $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})$ donc $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)$ est une extension algébrique de $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})$.
Par conséquent, $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)$ est une extension algébrique de $\mathbb{K}$ pour tout $i=2,\ldots,n$ donc $\alpha_i$ algébrique sur $\mathbb{K}$.
Ainsi, $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ est une extension de $\mathbb{K}$ obtenue par adjonction d'éléments algébriques sur $\mathbb{K}$ donc $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ algébrique et de degré fini.
Merci par avance pour votre aide.
Est-ce que ma résolution d'exercice est juste s'il vous plaît ?
Enoncé.
Soit $\mathbb{L} = \mathbb{K}(\alpha_1 , \ldots, \alpha_n)$.
Démontrer que $[\mathbb{L} : \mathbb{K}]$ est fini ssi $\alpha_1$ est algébrique sur $\mathbb{K}$ et si pour tout $i \in \{2, \ldots, n\},\ \alpha_i$ est algébrique sur $\mathbb{K}(\alpha_1 , \ldots, \alpha_{i-1})$.
Démonstration.
Sens direct
On a $[\mathbb{L} : \mathbb{K}] = \prod_{i = 1}^n [\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) : \mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})]$
Donc $\forall i \in \{2,\ldots,n\},\ [\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) : \mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})] < \infty$.
Par conséquent, $\alpha_1$ algébrique sur $\mathbb{K}$ et $\forall i \in \{2,\ldots,n\},\ \alpha_i$ algébrique sur $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})$.
Sens indirect
On a $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i})$ extension de $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})$. Or, $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) = \mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})(\alpha_i)$ et $\alpha_i$ est algébrique sur $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})$ donc $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)$ est une extension algébrique de $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1})$.
Par conséquent, $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)$ est une extension algébrique de $\mathbb{K}$ pour tout $i=2,\ldots,n$ donc $\alpha_i$ algébrique sur $\mathbb{K}$.
Ainsi, $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ est une extension de $\mathbb{K}$ obtenue par adjonction d'éléments algébriques sur $\mathbb{K}$ donc $\mathbb{K}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ algébrique et de degré fini.
Merci par avance pour votre aide.
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