Intersection d’unités

superpower
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dans Algèbre
Bonjour,
Je voudrais savoir ce qu’est $\bigcap_v\mathcal O_v^\times$
Où $\mathcal O_v^\times$ est la sphère unité de $\overline{\mathbb Q}$ pour la place $v$ en incluant les valeurs absolues archimédiennes
Merci d’avance

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il s'agit simplement de $\overline{\mathbb Z}^{\times} \cap \mathbb R^{+*}$.
  • superpower
    superpower
    Comme il y a le module ça veut dire que c’est $\{1\}$?
    Merci d’avance
  • Poirot
    Poirot
    Quel module ?
  • superpower
    superpower
    Le module complexe restreint à la clôture algébrique des rationnels
  • Poirot
    Poirot
    De mémoire, si $v$ est une place complexe alors $\mathcal O_v^{\times} = \mathbb C^{\times}$ et si $v$ est une place réelle, on a $\mathcal O_v^{\times} = \mathbb R^{+*}$ par convention.
  • superpower
    superpower
    Pardon je voulais dire pour les places archimédiennes je prenais la sphère unité pour la valeur absolue comme $\mathcal O_v^\times$
  • Poirot
    Poirot
    C'est extrêmement restrictif, et la réponse est alors évidente.
  • superpower
    superpower
    C’est $\{1,-1\}$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui, puisque c'est déjà le cas pour une place réelle.
  • Pea
    Pea
    Non, c'est l'ensemble des racines de l'unité (il n'existe pas de plongement de $\overline{\mathbb{Q}}$ dans $\mathbb{R}$).
  • Poirot
    Poirot
    Effectivement, je n'y avais pas pensé !
  • superpower
    superpower
    Les racines rationnelles de l’unité ?
    Merci d’avance
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