Dépendance linéaire

Bonjour
En étudiant l'algèbre linéaire, je suis tombé sur ce problème.

Soit $ \mathbb{F}^{m\times n}$ une matrice de taille $m\times{}n$ à coefficients dans un corps $\Bbb{F}$ et soit $C(\mathbb{F})=\operatorname{Vect}\{c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\}$ le $\Bbb{F}$-espace vectoriel engendré par les colonnes de la matrice $\mathbb{F}^{m\times n}$. Si $\sum\limits_{k=1}^{n}c_{k}=a\cdot \vec{1}$, avec $a\in \mathbb{F}$ et $\vec{1}:=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ \vdots \\1 \end{pmatrix}\in \mathbb{F}^{m}$, et si la somme de certaines colonnes de la matrice est $b\cdot \vec{1}$, avec $b\in \mathbb{F}$, montrer que les colonnes de la matrice $\mathbb{F}^{m\times n}$ sont linéairement dépendantes.

Si je considère le cas : $\mathbb{F}^{2\times 2}:=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$, alors les hypothèses donnent $$\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21} \end{pmatrix}=b\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},
$$ pour certains $a,b\in \mathbb{F}$.

D'après la définition de la dépendance linéaire, je sais que je dois montrer que : $$\alpha_{1}c_{1}+\alpha_{2}c_{2}=\vec{0} \implies \exists \alpha_{i}: \alpha_{i}\not=0.

$$ Mais je ne sais pas comment avancer.
Merci.