Non pour l'heptagone, avec la règle et le compas.
Le n-gone est constructible à la règle et le compas si n est le produit d'une puissance de $2$ et d'un certain nombre de nombres de Fermat premiers (Théorème dû à C.F.Gauss).
Un nombre de Fermat est un nombre de la forme $2^{2^p}+1$.
C'est par exemple possible pour $n \in \{17,257,65537\}$.
On trouve des sujets de devoir classiques (niveau terminale) avec $n=17$.
Il me semble qu'un abbé a passé $40$ ans de sa vie à chercher et il a trouvé une méthode concrète pour $n=257$. Il n'avait peut-être que ça à faire :-D.
A ma connaissance, on n'a pas encore trouvé de méthode concrète pour $n=65537$.
Et on ne sait pas s'il existe des nombre de Fermat premiers pour $p\geq 5$.
Cordialement,
Rescassol
PS: Il faudrait demander à Pablo de nous résoudre par radicaux $X^{17}-1=0$, c'est possible.
Voyons : sur une feuille carrée de deux mètres de côté, la distance entre deux sommets consécutifs serait de $0{,}0000956$ mètre environ, disons un dixième de millimètre. Peut-on construire une meilleure approximation qu'avec un compas ?
@Rescassol : Il y a quelques années, mon enseignant en théorie de Galois nous avais donné le calcul de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{17}\right)$ en devoir de vacances (sans aucune indication). C'étais rigolo à faire! (:P)
Que le rayon de (2) soit $\sqrt{2}$ tient du miracle, et nous
n'aimons pas beaucoup les miracles, mais voilà, il existe.
La neusis se fait avec la règle sur laquelle on a marqué
deux points C et S distants de $1$ .
On fait varier C sur (2) et S sur l'axe de symétrie vertical du carré.
On fait bouger la règle jusqu'à ce que son bord passe par P .
Réponses
Si c’est compas et règle non graduée, c’est oui pour n=5 et c’est non pour n=7.
Si c’est compas seul : idem. Mais je ne sais pas le faire.
la construction du pentagone régulier est un exercice classique, celui de l'heptagone régulier l'est moins
mais elle est possible : je me souviens l'avoir vue ici même sur le site géométrie,
nos spécialistes sauront peut-être nous la restituer.
Cordialement
Non pour l'heptagone, avec la règle et le compas.
Le n-gone est constructible à la règle et le compas si n est le produit d'une puissance de $2$ et d'un certain nombre de nombres de Fermat premiers (Théorème dû à C.F.Gauss).
Un nombre de Fermat est un nombre de la forme $2^{2^p}+1$.
Cordialement,
C'est par exemple possible pour $n \in \{17,257,65537\}$.
On trouve des sujets de devoir classiques (niveau terminale) avec $n=17$.
Il me semble qu'un abbé a passé $40$ ans de sa vie à chercher et il a trouvé une méthode concrète pour $n=257$. Il n'avait peut-être que ça à faire :-D.
A ma connaissance, on n'a pas encore trouvé de méthode concrète pour $n=65537$.
Et on ne sait pas s'il existe des nombre de Fermat premiers pour $p\geq 5$.
Cordialement,
Rescassol
PS: Il faudrait demander à Pablo de nous résoudre par radicaux $X^{17}-1=0$, c'est possible.
En voici une :
[large][large][size=large] Neusis [/size][/large][/large] (inclinaison)
Le côté du carré est $1$ .
Que le rayon de (2) soit $\sqrt{2}$ tient du miracle, et nous
n'aimons pas beaucoup les miracles, mais voilà, il existe.
La neusis se fait avec la règle sur laquelle on a marqué
deux points C et S distants de $1$ .
On fait varier C sur (2) et S sur l'axe de symétrie vertical du carré.
On fait bouger la règle jusqu'à ce que son bord passe par P .
On marque S sur le dessin, la suite... suit.