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Racine d'une somme — Les-mathematiques.net
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Algèbre
Racine d'une somme
Pierre_
April 2021
dans
Algèbre
Bonjour,
Comment continuer ? Suis-je sur une bonne voie ?
Merci
Réponses
Magnolia
April 2021
Bonjour
Beaucoup trop compliqué! Comme tes deux nombres sont strictement positifs, ils sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux.
marsup
April 2021
C'est assez astucieux ! (En jaune pour la prévention du divulgâchage)
$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}}
+
\frac{\sqrt{a-c}}{\sqrt{2}}
& =
\sqrt{
\big(
\frac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}}
+
\frac{\sqrt{a-c}}{\sqrt{2}}
\big)^2
} \\
& =
\sqrt{
a + \sqrt{a+c} \cdot \sqrt{a-c}
} \\
& =
\sqrt{
a + \sqrt{a^2-c^2}
} \\
& =
\sqrt{
a + \sqrt{b}
}
\end{aligned}
$
Quentino37
April 2021
tu mets les deux termes au carré pour ce débarrasser de la racine carré
Je suis donc je pense
Pierre_
April 2021
Merci à tous.
Belle journée
Math Coss
April 2021
On peut aussi écrire \[\sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt{\sqrt2^2+2\sqrt2+1}=\sqrt{(\sqrt2+1)^2}\]mais c'est une façon perverse de suivre la suggestion d'ev.
Quentino37
April 2021
Il est plus simple de juste mettre au carré les deux termes
Je suis donc je pense
Dom
April 2021
Et aussi de penser à dire qu’ils sont positifs avant d’élever au carré.
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Réponses
Beaucoup trop compliqué! Comme tes deux nombres sont strictement positifs, ils sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux.
$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}}
+
\frac{\sqrt{a-c}}{\sqrt{2}}
& =
\sqrt{
\big(
\frac{\sqrt{a+c}}{\sqrt{2}}
+
\frac{\sqrt{a-c}}{\sqrt{2}}
\big)^2
} \\
& =
\sqrt{
a + \sqrt{a+c} \cdot \sqrt{a-c}
} \\
& =
\sqrt{
a + \sqrt{a^2-c^2}
} \\
& =
\sqrt{
a + \sqrt{b}
}
\end{aligned}
$
Belle journée