Endomorphisme de Frobenius clôture algébrique

Julia Paule
Julia Paule
dans Algèbre
Bonjour,

Soit $K$ un corps de cardinal $q$ (donc $q=p^n, p$ la caractéristique de $K$), $\overline{K}$ sa clôture algébrique, et $\sigma$ l'endomorphisme de Frobenius : $\overline{K} \rightarrow \overline{K}, x \mapsto x^q$.

Je lis dans mon cours que cette application est un isomorphisme de corps. Ok pour morphisme injectif, mais pourquoi surjectif (en effet, $\overline{K}$ n'est pas fini car un corps fini n'est jamais algébriquement clos) ?

Merci d'avance.

Réponses

  • gai requin
    gai requin
    Parce que $\overline K$ est algébriquement clos.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ah oui, j'aurais pu trouver. Merci beaucoup.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Alors, mon cours dit : $\sigma(x)=x^q=x \Leftrightarrow x \in K$.

    Cette démonstration est-elle valable : <= évident (car $K$ est corps de décomposition de $X^q-X$, ou bien car $\forall x \in K, x^q=x$, car c'est vrai pour $x=0$ et sinon, $K^*$ est un groupe d'ordre $q-1$, donc $x^{q-1}=1$) ; donc dans l'autre sens, les racines de $X^q-X$ sont toutes distinctes, car le polynôme est séparable, en nombre $q$, donc elles occupent $K$.

    Ou existe-t-il une considération plus simple dans le sens réciproque ?
  • gai requin
    gai requin
    Pas besoin de faire jouer la séparabilité.
    $X^q-X$ a au plus $q$ racines dans $\overline K$.
    Les $q$ éléments de $K$ sont des racines de $X^q-X$.
    Donc les racines de $X^q-X$ dans $\overline K$ sont exactement les éléments de $K$.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    En effet c'est plus simple. Merci !
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