Matrices de trace nulle

bourbaki57
bourbaki57
dans Algèbre
Bonjour
J'aimerais montrer que l'ensemble E des matrices de trace nulle est l'ensemble : F = {AB-BA, A,B dans Mn(K)}

D'après les propriétés sur la trace, on montre facilement que F est inclus dans E.
Pour montrer l'autre inclusion, j'ai essayé de regarder le cas n = 2 mais je n'ai rien trouvé d'intéressant.

Merci beaucoup.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Est-ce que tu peux déjà montrer que $Vect(F)$ est l'ensemble $E$ que tu cherches ? (je ne pense pas qu'on puisse utiliser ça pour conclure, mais c'est déjà intéressant et c'est une première approximation)
  • bourbaki57
    bourbaki57
    On a directement l'inclusion de Vect(F) dans E.

    Par la formule du rang appliquée à la trace, on obtient dim(E) = n^2 - 1.
    Pour la dimension de Vect(F), j'ai du mal.
  • christophe c
    christophe c
    C'est rigolo, c'est un classique il me semble, je vais suivre ce fil de près et essayer de faire l'exo (en une semaine pour montrer à OS que ce n'est rien de "ne pas trouver")
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour,
    Je te suggère cet itinéraire (qui impose la contrainte $\#\mathbb K\geqslant n.$)
    Soit $ Y \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ tel que $\text{Tr}A =0.$
    $1)$ Démontrer (par exemple par récurrence sur $n$) que $Y$ est semblable à un élément de l'ensemble $\mathcal N$ des matrices de $ \mathcal M_n(\mathbb K)$ à diagonale nulle.
    $2)$ Soit $ D = \text{diag}(0,1,2,...n-1).\:\: $ Démontrer que $X \mapsto DX-XD$ réalise une surjection de $ \mathcal M_n(\mathbb K)$ sur $ \mathcal N.$
    La combinaison des deux points précédents permet alors aisément de conclure.
  • Foys
    Foys
    Honnêtement, cet exo livré sans indication est plutôt dur je pense.
    Indication : soit $n\in \N$ et $M\in \mathcal M_n(K)$. Montrer d'abord que si $Tr(M)=0$ alors $M$ est semblable à une matrice dont le premier terme en haut à gauche est nul.

    EDIT: je n'avais pas vu le message de LOU16.
    D'autre part le résultat est-il vrai en caractéristique quelconque ? Par exemple l'identité est-elle un crochet de Lie de deux matrices dans $\mathcal M_2(\mathbf F_2)$ ?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • gebrane
    gebrane
    $\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}\newcommand{\Vect}{\operatorname{Vect}}$Dans mes cours d’algèbre, j'ai cet exercice. On note les matrices de $\mathcal M_n$, $E_{ij}=(\delta_{i,j})$ avec $\delta$ le symbole de Kronecker. On demande de démontrer que la famille $B$ suivante est une base de $ \ker \Tr=\{A \in M_n(\mathbb{K})\mid \Tr A = 0\} ,$ où
    $B = \{E_{ij} \mid 1 \le i, j \le n,\ i\ne j\} \cup \{E_{ii} - E_{nn} \mid 1 \le i \le n-1 \}$.

    Après on déduit que $\ker \Tr = \Vect B \subseteq \Vect \{AB - BA \mid A,B \in \mathcal M_n(\mathbb{K})\} = \{AB - BA \mid A,B \in \mathcal M_n(\mathbb{K})\}$
    Le 😄 Farceur


  • Maxtimax
    Maxtimax
    Foys: l'identité en caractéristique $2$ s'écrit $[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1& 1 \end{pmatrix}]$
  • 20100N
    20100N
    La trace est une forme linéaire , son noyau est de dimension n2-1 et les matrices proposées par gebrane forment bien une famille libre
    n2-1 matrices de trace nulle donc une base de Ker(Tr). Il faut aussi noter pour conclure comme l'a fait encore gebrane que
    E = {AB-BA | A , B dans Mn(K)} est un espace vectoriel donc Vect(E) = E .
  • Foys
    Foys
    Merci pour cet exemple intéressant Maxtimax!
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    20100N: comment prouves-tu que $E$ est un sous espace vectoriel ? cela semble loin d'évident

    Foys: cela dit, je ne saurais pas répondre sans plus y réfléchir à ta question générale (à savoir, est-ce vrai de manière générale en caractéristique non nulle ? je crois que je sais répondre pour $I_p$ en caractéristique $p$, mais au-delà de ça, pas trop)
  • christophe c
    christophe c
    Un jeu que j'adore (ma thèse est un peu née comme ça) consiste à "se forcer à oublier" des spoiling.

    En théorie des jeux on peut montrer ou cacher de l'info,

    .. mais il faut avoir recours à "quelque chose" entre guillemets d'artificiel pour parler des jeux où un joueur a le devoir d'oublier (même si au niveau des stratégies ça ne pose pas de problème, la plupart de ces jeux n'ayant pas de stratégie gagnante....Du moins ce n'est pas le cadre intéressant, ceux qui en ont)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gebrane
    gebrane
    Maxtimax dit comment prouves-tu que E est un sous espace vectoriel ? cela semble loin d'évident
    E est l'espace des matrices de trace nulle, il est non vide contient la matrice nulle et $\mathrm{tr}(M_1+\lambda M_2)=\mathrm{tr}(M_1)+\lambda \mathrm{tr}(M_2)=0$

    donc je ne comprends pas ce que tu veux dire
    Le 😄 Farceur


  • Bintje
    Bintje
    Maxtimax: Le résultat est encore vrai sur tout corps et même sur tout anneau principal.

    K. Shoda, Einige Sätze über Matrizen (German), Jpn. J. Math. 13 (1937), no. 3, 361–365.

    A. A. Albert and B. Muckenhoupt, On matrices of trace zeros, Michigan Math. J. 4 (1957),1–3.

    Alexander Stasinski, Similarity and commutators of matrices over principal ideal rings, Trans. Amer. Math. Soc., 368 (2016), 2333-2354.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    gebrane : oui c'est évident si on suppose le résultat, comme à peu près toutes les maths :-D je parle de $\{AB-BA\mid A,B\in M_n(K)\}$, dont 20100N utilise la vectorialité dans sa preuve

    Bintje: merci, c'est bon à savoir !
  • gebrane
    gebrane
    Maxtimax, tu as parlé de E dans ton message . et le message initiale dit ''J'aimerais montrer que l'ensemble E des matrices de trace nulle est l'ensemble : F = {AB-BA, A,B dans Mn(K)}''
    Donc si j'ai compris ce n'est pas évident de voir que F est un sous espace vectoriel lorsque K est un corps quelconque c'est ça?
    Le 😄 Farceur


  • Maxtimax
    Maxtimax
    gebrane : je me référais au E de 20100N. Même lorsque $K= \C$ ce n'est pas évident, c'est d'ailleurs essentiellement équivalent à $F= \ker(Tr)$, donc aussi peu évident.
  • 20100N
    20100N
    En fait je pensais pouvoir prouver que E = { AB-BA | A , B dans Mn(K) } était un ev avec la billinéarité de (X,Y) -> XY - YX mais j'ai tout faux .
  • gebrane
    gebrane
    merc Max, je comprends maintenant ce que tu voulais dire
    Le 😄 Farceur


  • Maxtimax
    Maxtimax
    gebrane: pas de souci, je n'ai pas forcément été clair, surtout avec toutes les notations qui se mélangeaient :-)

    En jetant un oeil au papier de Albert-Muckenhoup j'en suis venu à ce qui me semble un preuve plus simple dans le cas d'un corps de cardinal $\geq n+1$, mais sans contrainte de caractéristique (dans le cas d'un anneau principal il faudra travailler plus). Je la mets ci-dessous en blanc sur blanc pour qui est intéressé.

    Le point crucial est le point 1) de la démonstration de LOU16. En effet, ce point suppose que les homothéties non nulles ne sont pas à trace nulle. Pour régler ça il faut commencer par montrer que l'identité (et donc toutes les homothéties) en dimension divisible par $p = char(K)$ sont des commutateurs. Il suffit de le faire en dimension $p$.

    Une petite analyse de l'équation $AB-BA =I_p$ que je laisse en exercice (non trivial mais instructif et amusant) révèle qu'à des homothétie près, $A$ et $B$ sont semblables à une matrice compagnon de polynôme $X^p-1 = (X-1)^p$. Quitte à conjuguer, on peut supposer que $A= C(X^p-1)$, qui est également (au vu du polynôme minimal/caractéristique) la matrice de permutation d'un $p$-cycle.

    (Petite remarque en passant : quand $p=2$, ce n'est pas tout à fait l'exemple que j'ai donné, mais ça lui est naturellement conjugué)

    Il reste à vérifier qu'on peut trouver une $B$ convenant. C'est une simple équation à résoudre, on voit que la seule solution possible est $Be_i = e_i - (i-1)e_{i-1}$, où je regarde les indices comme vivant dans $\{1,...,p\}$ mais modulo $p$; et on voit que pour qu'elle marche il faut que $p=0$ (regarder en $i=1$).

    Avec ça, on peut avancer: on procède presque comme chez LOU16 mais pas tout à fait. La propriété qu'on montre par récurrence est légèrement plus forte que le résultat désiré, à savoir qu'on peut choisir $A$ inversible (pour les homothéties, on vient de voir que c'était le cas)

    Si $Y$ est une homothétie, par ce qu'on vient de faire on a gagné; sinon il existe $x$ tel que $(x,Yx)$ est libre, et donc $Y$ est conjuguée à une matrice dont le terme dans le coin en haut à gauche est $0$. On obtient alors une matrice de la forme $\begin{pmatrix} 0 & v \\ u & Y' \end{pmatrix}$ avec $Y'$ toujours de trace nulle. Par l'hypothèse de récurrence, je peux écrire $Y' = [A,B]$ avec $A$ inversible. Soit $\lambda\in K^\times\setminus Sp(A)$ (on utilise ici l'hypothèse sur le cardinal, à noter que $A$ est de taille $n-1$), $u'$ tel que $(A-\lambda) u' = u$ et $v'$ tel que $v' (\lambda - A) = v$. Alors notre matrice est le commutateur de $\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & v' \\ u' & B\end{pmatrix}$, et $\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & A \end{pmatrix}$ est inversible.

    Donc même pas besoin de passer par le petit lemme 2) de LOU16 (bien qu'il reste vrai si le cardinal est assez grand ); mais on garde cette hypothèse sur le cardinal. Il faut travailler plus (cf. l'article pointé par Bintje) pour s'en défaire, d'ailleurs je crois que le résultat plus fort démontré ici n'est plus vrai en général. Il faut travailler encore un peu plus si on veut passer sur un anneau principal.

    En fait on peut noter plus généralement que dès que le corps est assez grand, l'existence de $A,B$ implique l'existence de $A,B$ avec $A$ inversible, puisque $[A+\lambda I_n,B] = [A,B]$ donc j'aurais pu formuler ça dans ma récurrence plutôt
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