Trigonalisation

FG06
FG06
dans Algèbre
Bonjour,

Je me demandais si on pouvait échelonner une matrice pour la trigonaliser ?
Sans passer par les valeurs propres et les espaces propres ?
Cdlt.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Non. Quand tu échelonnes une matrice $M$, tu écris une égalité de la forme $LM = E$, où $L$ est la matrice des opérations faites sur les lignes de $M$, et $E$ est la matrice échelonnée. Ça coïncide très rarement avec une égalité de la forme $PMP^{-1} = T$, où $T$ est triangulaire.
  • FG06
    FG06
    C'est ce que je me disais... au début je faisais des échelonnement dans n'importe quel sens et je ne comprenais pas que je modifiais l'endomorphisme.
    Je me demandais donc dans quelle mesure ces 2 façons pouvaient coïncider vu qu'il n'y a qu'une seule façon d'obtenir une matrice triangulaire pour une base donnée.
    Bref, l'idée à la base c'était de trouver une technique plus rapide pour trigonaliser une matrice que celle passant par le polynome caractéristique..
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Sans même faire aucun calcul on peut voir que ça n'a aucune chance de marcher, puisqu'on peut échelonner n'importe quelle matrice sur n'importe quel corps, mais on ne peut pas tout trigonaliser.
    Evidemment, la réponse de Poirot est la vraie raison, mais ce que je viens de dire est une manière de s'assurer au préalable que c'est déraisonnable (un "sanity check")
  • Poirot
    Poirot
    Une autre raison pour laquelle ce n'est vraiment pas la même chose, si on échelonne une matrice carrée inversible on tombe sur quoi ? :-D
  • gebrane
    gebrane
    Par contre, y a-t-il une chance que pour diagonaliser une matrice ça passe par Gauss ?
    C’était un jeu de mots, si la matrice est celle d'une forme quadratique il y a la méthode de diagonalisation de Gauss.
    Le 😄 Farceur


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