Automorphismes de l'anneau des polynômes
dans Algèbre
Bonjour
Soit $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ une extension finie et galoisienne, de corps de $ \mathbb{Q} $, dans $ \mathbb{C} $.
Soit $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ le groupe de Galois de $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ sur $ \mathbb{Q} $.
Soient $ P_1 , \dots , P_n \in \mathbb{Q} [X] $ les polynômes minimales de $ a_1 , \dots , a_n $, respectivement.
On note, $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de l'anneau des polynômes $ \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] $, faisant permuter les éléments de $ \{ \ P_1 , \dots , P_n \ \} $, et laissant invariant $ \mathbb{Q} $.
J'hésite entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / K ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
Bref, je cherche, au lieu de m’intéresser aux automorphismes permutant les racines d'un polynôme et laissant invariant le corps de base, à m’intéresser aux automorphismes permutant leurs polynômes minimales et laissant invariant le corps de base.
Comment alors sont définis concrètement les morphismes $ \varphi $ et $ \phi $, et quand sont-ils des isomorphismes de groupes ?
Merci d'avance.
Soit $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ une extension finie et galoisienne, de corps de $ \mathbb{Q} $, dans $ \mathbb{C} $.
Soit $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ le groupe de Galois de $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ sur $ \mathbb{Q} $.
Soient $ P_1 , \dots , P_n \in \mathbb{Q} [X] $ les polynômes minimales de $ a_1 , \dots , a_n $, respectivement.
On note, $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de l'anneau des polynômes $ \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] $, faisant permuter les éléments de $ \{ \ P_1 , \dots , P_n \ \} $, et laissant invariant $ \mathbb{Q} $.
J'hésite entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / K ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
Bref, je cherche, au lieu de m’intéresser aux automorphismes permutant les racines d'un polynôme et laissant invariant le corps de base, à m’intéresser aux automorphismes permutant leurs polynômes minimales et laissant invariant le corps de base.
Comment alors sont définis concrètement les morphismes $ \varphi $ et $ \phi $, et quand sont-ils des isomorphismes de groupes ?
Merci d'avance.
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Réponses
Tu as envie de faire joujou, alors fais joujou.
Tu n'as pas besoin de demander à autrui comment faire joujou, tu fais joujou comme tu veux.
Cordialement,
Rescassol
Edit,
Je corrige :
J'hésite entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P_1(a_1) , \dots , P_n(a_n) ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P_1 (a_1) , \dots , P_n (a_n) ) / \mathbb{Q} ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P_1 (a_1) , \dots , P_n (a_n) ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P_1 (a_1) , \dots , P_n (a_n) ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
$ P_1 , \dots , P_n \in \mathbb{Q} [X] $ qui ne sont pas forcément des polynômes minimales d $ a_1 , \dots , a_n $ respectivement.
J'hésite donc, entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P(a) ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
Soit $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ une extension finie et galoisienne, de corps de $ \mathbb{Q} $, dans $ \mathbb{C} $.
Soit $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ le groupe de Galois de $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ sur $ \mathbb{Q} $.
Soient $ P_1 , \dots , P_n \in \mathbb{Q} [X] $ les polynômes minimales de $ a_1 , \dots , a_n $, respectivement.
On note, $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de l'anneau des polynômes $ \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] $, faisant permuter les éléments de $ \{ \ P_1 , \dots , P_n \ \} $, et laissant invariant $ \mathbb{Q} $.
J'hésite entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / K ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
Bref, je cherche, au lieu de m’intéresser aux automorphismes permutant les racines d'un polynôme et laissant invariant le corps de base, à m’intéresser aux automorphismes permutant leurs polynômes minimales et laissant invariant le corps de base.
Comment alors sont définis concrètement les morphismes $ \varphi $ et $ \phi $, et quand sont-ils des isomorphismes de groupes ?
Comment se débrouiller alors ?
Les $ P_j $ sont les polynômes minimales des $ a_j $, respectivement.
Voir ici, https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/740537-automorphismes-de-k-x.html
Alors, pour tout $ P \in \mathbb{Q} [X^{2} - 3 , X^{2} - 2 ] $, $$ \varphi (P) (X^2 - 3 , X^2 - 2 ) = P ( \varphi (X^2 - 3) , \varphi ( X^2 - 2 ) ) $$
Il y a deux possibilités,
- $ \varphi ( X^2 - 3 ) = X^2 - 3 $ et $ \varphi (X^2 - 2 ) = X^2 - 2 $.
Dans ce cas là, $ \varphi = \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X^{2} - 3 , X^{2} - 2 ] } $.
- $ \varphi ( X^2 - 3 ) = X^2 - 2 $ et $ \varphi (X^2 - 2 ) = X^2 - 3 $.
Donc, il faut chercher $ \varphi $ tel que, pour tout $ P \in \mathbb{Q} [X^2 - 3 , X^2 - 2 ] $, $$ \varphi (P ) (X^2 - 3 , X^2 - 2 ) = P ( X^2 - 2 , X^2 - 3 ) $$
Quelle est alors, ce $ \varphi $ ?
Pardon. Ici, c'est faux, car, les automorphismes de $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $, sont des automorphismes en toute généralité, et non uniquement ceux qui permutent $ X $ et $ X $, c'est à dire, ceux qui laissent invariant $ X $.
Donc, quelle est $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de $ \mathbb{Q} [X] $, laissant invariant $ \mathbb{Q} $ et $ X $ ?
Merci d'avance.
Edit,
Donc, les automorphismes $ \varphi \in \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $, vérifiant $ \varphi (X) = X $, est l'automorphisme $ \varphi = \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X] } $. D'où,
$$ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \{ \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X] } \} $$.
Pourquoi affirmes-tu que c'est évident ? Y a-t-il un chemin moins insinueux que tu connais et qui raccourcit la méthode de résolution ?
Oui, mais je ne sais pas le calculer. Je t'ai indiqué ce qui me rebute dans mon avant dernier message. J'attends que tu m'expliques comment.
Merci.
Oui, n'importe quel étudiant de L2 peut constater qu'un automorphisme d'anneau de $\mathbb Q[X]$ fixant $X$ est l'identité.
Je ne le ferai pas. Tu es un grand mathématicien qui a résolu plusieurs grandes conjectures après tout, tu n'as pas besoin de moi !
Oui, c'est vrai, c'est trivial. Mais, ce n'était pas évident pour moi au début.
Por favor amigo. :-(
On calcule, d’abord, les automorphismes de $ \mathbb{Q} [ X^2 - 3 , X^2 - 2 ] / \mathbb{Q} $, avant d'en déduire ceux qui permutent $ X \mapsto X^2 - 3 $ et $ X \mapsto X^2 - 2 $. N'est ce pas ?
Faut-t-il, pour cela, calculer, $ \varphi ( (X,Y) \mapsto X ) (X , Y ) $, et $ \varphi ( (X,Y) \mapsto Y ) ( X , Y ) $, pour en déduire, $ \varphi (P) (X,Y ) $ ?
Viens m'aider un peu s'il te plaît, puisque tu sembles connaitre comment on fait pour répondre à la question.
Quelques pistes menant vers la solution sont les bienvenues.
Merci.
Contrairement à ce que les autres peuvent dire, ce que tu développes dans ce post a été déjà étudié dans cet article
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/ss2009preparation.pdf
Je n'ai pas connaissance de d'autres articles portant sur le même sujet, l'auteur de l'article étant un des pontes dans le domaine. Je te souhaite bon courage, il y a une petite barrière de langage mais ça vaut le coup de s'y mettre.
Un coup de pouce s'il te plaît. :-)
Je ne te demande pas de me résoudre l'exercice noir sur blanc, mais juste me proposer quelques pistes pour démarrer. Je suis complètement bloqué.
Merci.
Donc, puisque, $ X^2 - 3 = X^2 - 2 - 1 $, alors, $ X^2 - 3 $ et $ X^2 - 2 $ sont algébriquement liés sur $ \mathbb{Q} $.
D'où, $ \mathbb{Q} [ X^2 - 3 , X^2 - 2 ] = \mathbb{Q} [ X^2 - 2 ] = \mathbb{Q} [ X^2 - 3 ] $.
Est ce que je commence bien Poirot ?
@Poirot,
Pourquoi n'a-t-on pas aussi, $ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $, alors, qu'on a, $ \mathbb{Q} [ X^2 - 2 , X^2 - 3 ] = \mathbb{Q} [X^2 - 2 ] $. Même $ \sqrt{2} $ et $ \sqrt{3} $ sont algébriquement liés sur $ \mathbb{Q} $, car, $ P( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = 0 $, avec, $ P(X,Y) = X^2 - Y^2 +1 $. Si on a droit d'écrire, $ \mathbb{Q} [ X^2 - 2 , X^2 - 3 ] = \mathbb{Q} [X^2 - 2 ] $, on a aussi droit d'écrire, $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $. Pourquoi c'est faux ?
Merci d'avance.