Automorphismes de l'anneau des polynômes

Pour simplifier davantage la formulation du problème, on va prendre, $ n = 1 $ :
J'hésite donc, entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P(a) ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.

Non. Ma question est la suivante, @Poirot, (:P)

Soit $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ une extension finie et galoisienne, de corps de $ \mathbb{Q} $, dans $ \mathbb{C} $.
Soit $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ le groupe de Galois de $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ sur $ \mathbb{Q} $.
Soient $ P_1 , \dots , P_n \in \mathbb{Q} [X] $ les polynômes minimales de $ a_1 , \dots , a_n $, respectivement.
On note, $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de l'anneau des polynômes $ \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] $, faisant permuter les éléments de $ \{ \ P_1 , \dots , P_n \ \} $, et laissant invariant $ \mathbb{Q} $.
J'hésite entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / K ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
Bref, je cherche, au lieu de m’intéresser aux automorphismes permutant les racines d'un polynôme et laissant invariant le corps de base, à m’intéresser aux automorphismes permutant leurs polynômes minimales et laissant invariant le corps de base.

Comment alors sont définis concrètement les morphismes $ \varphi $ et $ \phi $, et quand sont-ils des isomorphismes de groupes ?

Pablo a écrit:

$ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $.
Voir ici, https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-s uperieur/740537-automorphismes-de-k-x.html

Poirot a écrit:

Déjà tu confonds $\mathbb Q[X]$ et $\mathbb Q(X)$, ce qui est grave pour un grand algébriste tel que toi. Est-ce que tu peux nous décrire ton $\mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X^2-3, X^2-2] / \mathbb{Q} )$ par exemple ?

Pardon. Ici, c'est faux, car, les automorphismes de $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $, sont des automorphismes en toute généralité, et non uniquement ceux qui permutent $ X $ et $ X $, c'est à dire, ceux qui laissent invariant $ X $.

Donc, quelle est $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de $ \mathbb{Q} [X] $, laissant invariant $ \mathbb{Q} $ et $ X $ ?

Merci d'avance.

Edit,
Donc, les automorphismes $ \varphi \in \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $, vérifiant $ \varphi (X) = X $, est l'automorphisme $ \varphi = \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X] } $. D'où,
$$ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \{ \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X] } \} $$.

Poirot a écrit:

Une fois que ce sera devenu évident pour toi (mais je doute que ça arrive vraiment),

Pourquoi affirmes-tu que c'est évident ? Y a-t-il un chemin moins insinueux que tu connais et qui raccourcit la méthode de résolution ?

Poirot a écrit:

tu pourras calculer ton groupe d'automorphisme dans le cas $X^2-2$ et $X^2-3$, et tu pourras constater qu'il n'a strictement rien à voir avec celui de $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$.

Oui, mais je ne sais pas le calculer. Je t'ai indiqué ce qui me rebute dans mon avant dernier message. J'attends que tu m'expliques comment.
Merci.

Poirot a écrit:

Oui, n'importe quel étudiant de L2 peut constater qu'un automorphisme d'anneau de $\mathbb Q[X]$ fixant $X$ est l'identité.

Oui, c'est vrai, c'est trivial. Mais, ce n'était pas évident pour moi au début.

Poirot a écrit:

Je ne le ferai pas.

Por favor amigo. :-(

Poirot,
Viens m'aider un peu s'il te plaît, puisque tu sembles connaitre comment on fait pour répondre à la question.
Quelques pistes menant vers la solution sont les bienvenues.
Merci.

S'il vous plaît, un peu d'aide. J'en ai vraiment besoin pour ce problème.

Poirot a écrit:

tu pourras calculer ton groupe d'automorphisme dans le cas $X^2-2$ et $X^2-3$, et tu pourras constater qu'il n'a strictement rien à voir avec celui de $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$.

@Poirot,
Pourquoi n'a-t-on pas aussi, $ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $, alors, qu'on a, $ \mathbb{Q} [ X^2 - 2 , X^2 - 3 ] = \mathbb{Q} [X^2 - 2 ] $. Même $ \sqrt{2} $ et $ \sqrt{3} $ sont algébriquement liés sur $ \mathbb{Q} $, car, $ P( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = 0 $, avec, $ P(X,Y) = X^2 - Y^2 +1 $. Si on a droit d'écrire, $ \mathbb{Q} [ X^2 - 2 , X^2 - 3 ] = \mathbb{Q} [X^2 - 2 ] $, on a aussi droit d'écrire, $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $. Pourquoi c'est faux ?
Merci d'avance.

Comment expliquez vous ça @Math Coss ? (:D