Diagonalisation par les drapeaux

Soient $\K$ un corps, $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n\in\N$ et $u$ un endomorphisme de $E$.

On rappelle qu'un drapeau de $E$ est une suite finie strictement croissante $(E_i)_{0\leqslant i\leqslant k}$ ($k\in\N$) de sous-espaces vectoriels de $E$ telle que $E_0=\{0_E\}$ et $E_k=E$. Lorsque $k=n$, on dit que le drapeau est total. On a également les notions de drapeau adapté à une base et de bases adaptées à un drapeau total.

On sait qu'une reformulation de la trigonalisabilité de $u$ est l'existence d'un drapeau total de $E$ stabilisant $u$.

Même si ça ne sert sûrement pas à grand chose, je me demande si l'on peut également reformuler formellement la diagonalisabilité de $u$ avec la notion de drapeau, même si j'en doute fortement.