Nullstellensatz quadratique
Bonjour !
Si $q,q'$ sont deux formes quadratiques non dégénérées telles que $\mathcal{C}_q = \mathcal{C}_{q'} \neq \{0\}$ (où $\mathcal{C}_q$ désigne le cône isotrope de $q$) alors $q$ et $q'$ sont proportionnelles.
Cela est faux si le cône quadratique est réduit à $0$ comme le montrent les exemples $q(x,y) = x^2 + y^2,\ q'(x,y) = x^2 + 2y^2$.
Mais qu'en est-il du cas dégénéré? Reste-t-il vrai ?
Merci à vous !
Si $q,q'$ sont deux formes quadratiques non dégénérées telles que $\mathcal{C}_q = \mathcal{C}_{q'} \neq \{0\}$ (où $\mathcal{C}_q$ désigne le cône isotrope de $q$) alors $q$ et $q'$ sont proportionnelles.
Cela est faux si le cône quadratique est réduit à $0$ comme le montrent les exemples $q(x,y) = x^2 + y^2,\ q'(x,y) = x^2 + 2y^2$.
Mais qu'en est-il du cas dégénéré? Reste-t-il vrai ?
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Réponses
Dans ce cas-là, c'est peu étonnant que le Nullstellensatz ne marche pas très bien ?
Il suffit que le cône isotrope ait un point réel non singulier, ce qui équivaut à dire que la forme quadratique n'est pas semi-définie.