Nullstellensatz quadratique
Bonjour !
Si $q,q'$ sont deux formes quadratiques non dégénérées telles que $\mathcal{C}_q = \mathcal{C}_{q'} \neq \{0\}$ (où $\mathcal{C}_q$ désigne le cône isotrope de $q$) alors $q$ et $q'$ sont proportionnelles.
Cela est faux si le cône quadratique est réduit à $0$ comme le montrent les exemples $q(x,y) = x^2 + y^2,\ q'(x,y) = x^2 + 2y^2$.
Mais qu'en est-il du cas dégénéré? Reste-t-il vrai ?
Merci à vous !
Si $q,q'$ sont deux formes quadratiques non dégénérées telles que $\mathcal{C}_q = \mathcal{C}_{q'} \neq \{0\}$ (où $\mathcal{C}_q$ désigne le cône isotrope de $q$) alors $q$ et $q'$ sont proportionnelles.
Cela est faux si le cône quadratique est réduit à $0$ comme le montrent les exemples $q(x,y) = x^2 + y^2,\ q'(x,y) = x^2 + 2y^2$.
Mais qu'en est-il du cas dégénéré? Reste-t-il vrai ?
Merci à vous !
Réponses
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Bon, question résolue. il suffit de prendre $q(x,y,z) = x^2 + y^2, q(x,y,z) = x^2+2y^2$
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Tu regardes sur $\R$ au lieu de regarder sur $\C$, c'est bien ça ?
Dans ce cas-là, c'est peu étonnant que le Nullstellensatz ne marche pas très bien ? -
Oui, $\R$ !
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Bonjour,
Il suffit que le cône isotrope ait un point réel non singulier, ce qui équivaut à dire que la forme quadratique n'est pas semi-définie.
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Bonjour!
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