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Une preuve de trigonalisation

Envoyé par topopot 
Une preuve de trigonalisation
12 avril 2021, 09:18
J'ai du mal à comprendre, dans la preuve ci-dessous, concernant la matrice de $u$ dans une base adaptée à $F$, pourquoi le bloc en bas à droite est $\lambda I_{n-p}$ (pas de problème pour les trois autres blocs) ? Est-ce une erreur ?

En d'autres termes, si l'on note $\mathcal B_F=(e_1,\dots,e_p)$ une base de $F$ que l'on complète en une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, pourquoi est-ce que : $\forall j\in [\![p+1,n]\!]\quad u(e_j)=\lambda e_j$ ?


Re: Une preuve de trigonalisation
12 avril 2021, 09:30
Bonjour.

une fois la fin de la phrase "est de la forme" rectifié en "sont de la forme" (le sujet "matrices" est un pluriel), le passage d'une matrice à l'autre est assez évident, non ? Dit autrement, le bloc en bas à droite correspond à ce qui se passe sur $F$ dans une base "adaptée" (une base dont les derniers éléments sont des vecteurs propres indépendants de $u$, générateurs de F.

Cordialement.
Re: Une preuve de trigonalisation
12 avril 2021, 10:06
Le théorème est faux car l'endomorphisme identité de tout $K$-espace vectoriel de dimension $n$ n'est pas trigonalisable et son polynôme minimal est scindé.
Re: Une preuve de trigonalisation
12 avril 2021, 10:17
Ah en effet, merci gerard0.

@Alain : ce que tu dis est faux. Toute homothétie, en particulier l'identité, est trigonalisable (par exemple parce qu'elle est diagonalisable).
Re: Une preuve de trigonalisation
12 avril 2021, 10:31
Trigonalisable signifie que les deux diagonales encadrant la diagonale principale de la matrice d'un endomorphisme ont tous leurs coefficients égaux à $1$ et que les coefficients de cette matrice qui ne sont pas sur la diagonale principale ou sur ces deux diagonales sont nuls. L'endomorphisme identité d'un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ est bien un contre-exemple au théorème.
Re: Une preuve de trigonalisation
12 avril 2021, 10:42
Pas du tout, tu écris n'importe quoi (et ce n'est pas la première fois).

Une matrice carrée $A$ est trigonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ telle que tous les coefficients sous la diagonale de $P^{-1}AP$ sont nuls. Pour une matrice diagonale comme celle de l'identité dans n'importe quelle base, on peut prendre $P$ égale à l'identité, d'où le fait (évident) énoncé par topopot.
Re: Une preuve de trigonalisation
12 avril 2021, 16:00
Bref, cette preuve est selon moi mal rédigée, étonnant pour ce chapitre très bien rédigé pour l'instant. J'en ai trouvé une autre bien plus claire (selon moi encore une fois).
Re: Une preuve de trigonalisation
12 avril 2021, 16:27
avatar
@topopot : bonjour. D'où sont extraits ce théorème et cette preuve, s'il te plait ? Voudrais-tu déposer l'intégralité de la preuve. Je te remercie par avance.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 12/04/2021 17:14 par AD.
Re: Une preuve de trigonalisation
13 avril 2021, 15:23
C'est extrait de [www.decitre.fr]

Et pour la fin de la preuve :


Re: Une preuve de trigonalisation
13 avril 2021, 21:00
Je viens d'étudier la preuve. Celle de mon livre est limpide et parfaitement claire.

Elle est beaucoup plus détaillée que celle-ci.
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