Sous-anneau engendré par une partie

Bonjour
Soit $(A,+,\times)$ un anneau et $S\in \mathcal{P}(A)$.
L'ensemble sous-jacent au sous-anneau de $(A,+,\times)$ engendré par $S$ est
$$\Big\{ \displaystyle{\sum_{\text{ finie} } {s_{i_1}}^{n_{i_1}}\times \cdots \times {s_{i_k}}^{n_{i_k}} }\ |\ s_{i_j} \in S\ \text{ et }\ n_{i_j} \in \mathbb{N} \Big\}.

$$ Je ne suis pas sûr de comprendre la notation. Quel est l'indice de sommation ? Est-ce le même ensemble que
$$\bigg\{ \displaystyle{\sum_{(i_1,\dots{},i_k)\in I^k } {s_{i_1}}^{n_{i_1}}\times \cdots\times {s_{i_k}}^{n_{i_k}} }\ |\ I \text{ un ensemble},\ k\in \mathbb{N},\ s_{i_j} \in S\ \text{ et }\ n_{i_j} \in \mathbb{N} \bigg\}.

$$ Merci d'avance.