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Sous-groupes Sylow d'un groupe fini

Envoyé par gebrane 
Sous-groupes Sylow d'un groupe fini
13 avril 2021, 00:34
avatar
bonjour,


Vraiment un casse tête
Montrer que si G est un groupe fini, alors le nombre de sous-groupes Sylow de G est inférieur ou égal à $\frac{2}{3}|G|$

Signature: Je suis de passage .
Re: Sous-groupes Sylow d'un groupe fini
13 avril 2021, 02:14
Voir ici : [math.stackexchange.com]

Malheureusement il semble falloir considérer plusieurs cas, ce que je n'apprécie pas en général dans les preuves.
Re: Sous-groupes Sylow d'un groupe fini
13 avril 2021, 09:19
avatar
Mh; merci Poirot, merci
( J'avais le sentiment que c’était bien corsée! c'est le cas)

Signature: Je suis de passage .
df
Re: Sous-groupes Sylow d'un groupe fini
13 avril 2021, 12:30
Bonjour,

pour méditer sur un problème différent mais dans un « style » proche.
J’avais posté, il y a quelques mois, un message que je n’arrive plus à retrouver sur le degré de commutativité d’un groupe fini.
Voici quelques pistes de réflexions supplémentaires.

Soit $G$ un groupe fini. On note $P(G)$ la probabilité que deux éléments de $G$ choisis aléatoirement et avec remise (replacement) commutent et $P_A(G)$ la probabilité qu’un automorphisme choisi au hasard de $G$ fixe un élément choisi au hasard de $G$.
Montrer que
\begin{equation}
P_A(G) \leq 5/8 \: \: \text{pour tout groupe non-abélien} \\
P_A(G) \leq 5/8 \:\: \text{pour tout groupe non-cyclique}
\end{equation}

Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $P_A(G)=P(G)$.
...
df
Re: Sous-groupes Sylow d'un groupe fini
13 avril 2021, 13:48
Une définition plus formelle de $P_A(G)$
\begin{equation}
P_A(G)=\frac{\{(g,x) \mid gx =x, \ \forall g \in G, \ x \in G \}}{\vert G \vert ^2}.
\end{equation}



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 14:41 par AD.
Re: Sous-groupes Sylow d'un groupe fini
13 avril 2021, 16:03
Voir ceci pour beaucoup de résultats sur ce thème : [wakespace.lib.wfu.edu]
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