Sous-groupes Sylow d'un groupe fini

gebrane · April 2021

bonjour,

Vraiment un casse tête
Montrer que si G est un groupe fini, alors le nombre de sous-groupes Sylow de G est inférieur ou égal à $\frac{2}{3}|G|$

Poirot · April 2021

Voir ici : https://math.stackexchange.com/questions/1278465/maximum-number-of-sylow-subgroups

Malheureusement il semble falloir considérer plusieurs cas, ce que je n'apprécie pas en général dans les preuves.

gebrane · April 2021

Mh; merci Poirot, merci
( J'avais le sentiment que c’était bien corsée! c'est le cas)

df · April 2021

Bonjour,

pour méditer sur un problème différent mais dans un « style » proche.
J’avais posté, il y a quelques mois, un message que je n’arrive plus à retrouver sur le degré de commutativité d’un groupe fini.
Voici quelques pistes de réflexions supplémentaires.

Soit $G$ un groupe fini. On note $P(G)$ la probabilité que deux éléments de $G$ choisis aléatoirement et avec remise (replacement) commutent et $P_A(G)$ la probabilité qu’un automorphisme choisi au hasard de $G$ fixe un élément choisi au hasard de $G$.
Montrer que
\begin{equation}
P_A(G) \leq 5/8 \: \: \text{pour tout groupe non-abélien} \\
P_A(G) \leq 5/8 \:\: \text{pour tout groupe non-cyclique}
\end{equation}

Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $P_A(G)=P(G)$.
...

df · April 2021

Une définition plus formelle de $P_A(G)$
\begin{equation}
P_A(G)=\frac{\{(g,x) \mid gx =x, \ \forall g \in G, \ x \in G \}}{\vert G \vert ^2}.
\end{equation}