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Polynôme minimal

Envoyé par Julia Paule 
Polynôme minimal
13 avril 2021, 09:12
Bonjour,

Je me rends compte qu'on rencontre la notion de polynôme minimal pour deux choses qui semblent n'avoir aucun ou peu de rapport :

- soit $L/K$ une extension de corps et $\alpha \in L$ algébrique sur $K$ ; alors il existe $f \in K[X]$ non nul qui annule $\alpha$ et le polynôme minimal de $\alpha$ est l'unique polynôme irréductible, unitaire $\in K[X]$ qui divise $f$ dans $K[X]$.

- soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie ; d'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique $=\det(Xid_E - f) \in K[X]$ de $f$ est annulateur de $f$ ; alors le polynôme minimal de $f$ est l'unique polynôme annulateur de $f$, unitaire, et divisant tout polynôme annulateur de $f$.

Dans les deux cas, le polynôme est unitaire, de degré minimal, et divise tout polynôme annulateur.

Y aurait-il un lien plus direct entre ces deux notions, qui portent la même désignation ?

Merci d'avance.
Re: Polynôme minimal
13 avril 2021, 09:18
Le premier est le polynôme minimal de l’endomorphisme de multiplication par $a$.
C’est un cas particulier du second.
Re: Polynôme minimal
13 avril 2021, 09:22
Ou encore les deux correspondent à la notion de polynôme minimal d'un élément d'une $K$-algèbre, $L$ dans le premier cas et $End(V)$ dans le second

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 09:22 par Maxtimax.
Re: Polynôme minimal
14 avril 2021, 07:47
Ah je me doutais de quelque chose comme cela, vu que la trace, la norme et le polynôme caractéristique de l'élément $\varphi_{\alpha}$ endomorphisme de $L$, $K$-espace vectoriel, $\beta \mapsto \alpha \beta$, sont appelés trace, norme et polynôme caractéristique de $\alpha$ de $L$ sur $K$.

Je vais essayer de démontrer que le polynôme minimal coïncide. En effet, soit $f=\sum a_n X^n$, un polynôme de $K[X]$. Alors $f$ est annulateur de $\varphi_{\alpha}$ ssi $f$ est annulateur de $\alpha$ :

On a $\forall \beta \in L, \varphi^n_{\alpha}(\beta)=\alpha^n \beta$.
Alors $f(\varphi_{\alpha})=0 \Leftrightarrow \sum a_n \varphi_{\alpha}^n=0 \Leftrightarrow \forall \beta \in L, \sum a_n \varphi_{\alpha}^n(\beta)=\sum a_n \alpha^n \beta =(\sum a_n \alpha^n) \beta =0 \Leftrightarrow \sum a_n \alpha^n=0 \Leftrightarrow f(\alpha) =0$.
Donc $f$ est annulateur de $\varphi_\alpha$ ssi $f$ est annulateur de $\alpha$.

On en conclut que le polynôme minimal de $\varphi_\alpha$ est aussi le polynôme minimal de $\alpha$. Dès lors, je comprends mieux les définitions de la trace, la norme et du polynôme caractéristique d'un élément $\alpha$ de $L$ sur $K$.

On peut synthétiser en parlant de polynôme minimal d'un élément d'une $K$-algèbre $L$ ou $End(L)$ dans le contexte qui m'intéresse.

Merci beaucoup à vous deux.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 14/04/2021 07:56 par Julia Paule.
Re: Polynôme minimal
14 avril 2021, 08:16
Par la même occasion, on a aussi que le polynôme caractéristique de $\varphi_{\alpha}$ est annulateur de $\alpha$ car il est annulateur de $\varphi_{\alpha}$ (théorème de Cayley-Hamilton), donc $\alpha$ est une racine de son polynôme caractéristique.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 14/04/2021 08:17 par Julia Paule.
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