Polynôme minimal

Ah je me doutais de quelque chose comme cela, vu que la trace, la norme et le polynôme caractéristique de l'élément $\varphi_{\alpha}$ endomorphisme de $L$, $K$-espace vectoriel, $\beta \mapsto \alpha \beta$, sont appelés trace, norme et polynôme caractéristique de $\alpha$ de $L$ sur $K$.

Je vais essayer de démontrer que le polynôme minimal coïncide. En effet, soit $f=\sum a_n X^n$, un polynôme de $K[X]$. Alors $f$ est annulateur de $\varphi_{\alpha}$ ssi $f$ est annulateur de $\alpha$ :

On a $\forall \beta \in L, \varphi^n_{\alpha}(\beta)=\alpha^n \beta$.
Alors $f(\varphi_{\alpha})=0 \Leftrightarrow \sum a_n \varphi_{\alpha}^n=0 \Leftrightarrow \forall \beta \in L, \sum a_n \varphi_{\alpha}^n(\beta)=\sum a_n \alpha^n \beta =(\sum a_n \alpha^n) \beta =0 \Leftrightarrow \sum a_n \alpha^n=0 \Leftrightarrow f(\alpha) =0$.
Donc $f$ est annulateur de $\varphi_\alpha$ ssi $f$ est annulateur de $\alpha$.

On en conclut que le polynôme minimal de $\varphi_\alpha$ est aussi le polynôme minimal de $\alpha$. Dès lors, je comprends mieux les définitions de la trace, la norme et du polynôme caractéristique d'un élément $\alpha$ de $L$ sur $K$.

On peut synthétiser en parlant de polynôme minimal d'un élément d'une $K$-algèbre $L$ ou $End(L)$ dans le contexte qui m'intéresse.

Merci beaucoup à vous deux.