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Norme matricielle

zestiriazestiria
dans Algèbre
Je fais ce exercice.120286
120290
120292
120294

Réponses

  • P.P.
    Tu sais, tu fais ce que tu veux.
  • zestiriazestiria
    1)

    $
    \begin{align*}
    \mid \mid AX \mid \mid &= \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} x_j \mid , j \leq n \right) \\
    & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid \mid x_j \mid , j \leq n \right) \\
    \forall X, \dfrac{ \mid \mid AX \mid \mid }{ \mid \mid X \mid \mid } & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) \\
    N(A) & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) \\
    \end{align*}
    $

    2a)
    Pour $X_0= (1 \dots 1)$, le sup est atteint.

    2b)
    $N(A) \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) $
  • zestiriazestiria
    2c)
    $
    \begin{align*}
    \forall i,j \quad c_{i,j} &= \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \\
    \forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid &= \sum_j \mid \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \mid \\
    \forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq \sum_j \sum_{k=1}^{n} \mid a_{i,k} \mid \mid b_{k,j} \mid \\
    \forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq \sum_j \left( \sum_{k=1}^{n} \mid a_{i,k} \mid \right) \mid b_{k,j} \mid \\
    \forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq N(A) \sum_j \mid b_{k,j} \mid \\
    \forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq N(A) N(B) \\
    N(AB) &\leq N(A) N(B) \\


    \end{align*}
    $
  • zestiriazestiria
    3a)

    Soit $X$ une colonne associée à la valeur propre $\lambda$, alors $\max_i \{ \mid \lambda x_i \mid \} = \max_i \{ \mid \lambda \mid \mid x_i \mid \}$ donc $ \mid \mid \lambda X \mid \mid = \mid \lambda \mid \times \mid \mid X \mid \mid $

    $
    \begin{align*}
    \dfrac{ \mid \mid A X \mid \mid }{ \mid \mid X \mid \mid } & \leq N(A) \\
    \mid \mid A X \mid \mid & \leq \mid \mid X \mid \mid N(A) \\
    \mid \mid \lambda X \mid \mid &\leq \mid \mid \lambda \mid \mid N(A) \\
    \mid \lambda \mid \times \mid \mid X \mid \mid &\leq N(A) \\
    \end{align*}
    $
  • zestiriazestiria
    3b) Par l'absurde, on suppose que $A$ admet $\lambda >1$ comme valeur propre, soit $X$ un vecteur propre associé.


    $
    \begin{align*}

    \mid A X \mid &= \lambda \mid X \mid \\
    \underbrace{ \mid A^p X \mid }_{ < N(A^p) \mid X \mid } &= \lambda ^p \mid X \mid \\
    \end{align*}
    $

    Le terme de gauche tend vers zéro en $p$, mais pas le terme de droite, absurde.
  • zestiriazestiria
    On décompose $X$ sur une base de vecteurs propres.
    $| A ^p X | \leq \sum_i | \lambda_i | ^p | x_i | $ donc $ \dfrac{ \| A^pX \|} { \| X \| } \to 0$
  • zestiriazestiria
    4a) On prend $i$ qui réalise le max de $\ \{ | z_k | , k \}$ , on a $z_i >0$.
    $
    \begin{align*}
    \sum_{i=1}^n a_{i,j} z_j &=0 \\
    a_{i,i} z_i &= - \sum_{ j \ne i} a_{i,j} z_j \\
    | a_ {i,i} | &\leq \sum_{ j \ne i} a_{i,j} \dfrac{| z_j |}{ |z_i |} \\
    | a_ {i,i} | &\leq \sum_{ j \ne i} | a_{i,j} | \\
    \end{align*}
    $

    [Le module s'écrit avec des $|z|$ et pas des \mid qui mettent trop d'espace $\mid z\mid$. ;-) AD]
  • zestiriazestiria
    4c) On prend la contraposée : une condition suffisante est que pour tout $i,\ | a_{i,i} | > \sum_{ j \ne i} | a_{i,j}| $
  • zestiriazestiria
    4 d) Si $\lambda$ est une valeur propre, alors ilexiste $i$ tel que $\lambda \in \mathcal{C}( a_{i,i} , \sum_{i \ne j} | a_{i,j} |) $.
  • zestiriazestiria
    Merci AD
    [À ton service :-). AD]

    5 d)
    $\begin{align*}
    ||Y|| &\geq \delta ||V|| \\
    ||AV|| &\geq \delta ||V|| \\
    ||Y|| &\geq \delta ||A^{-1} Y|| \\
    ||A^{-1} Y || &\leq ||Y|| \dfrac{1}{\delta} \\
    N( A^{-1}) &\leq \dfrac{1}{\delta} \\
    \end{align*}
    $

    Pour la dernière ligne, on passe au sup.
  • zestiriazestiria
    5 c) On prend $i_0$ qui réalise le max de $ \{ |v_i| , i \}$
  • zestiriazestiria
    5 b) $ \forall j , - |v_j| < \|V\| $

    [$\LaTeX$ fournit la commande \| qui remplace les || en gérant l'espacement des barres verticales. ;-) AD]
  • zestiriazestiria
    Comment fait-on pour la question 5a) ? Merci.
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