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Norme matricielle

Envoyé par zestiria 
Norme matricielle
13 avril 2021, 15:27
avatar
Je fais ce exercice.


P.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 15:51
Tu sais, tu fais ce que tu veux.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 16:04
avatar
1)

$
\begin{align*}
\mid \mid AX \mid \mid &= \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} x_j \mid , j \leq n \right) \\
& \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid \mid x_j \mid , j \leq n \right) \\
\forall X, \dfrac{ \mid \mid AX \mid \mid }{ \mid \mid X \mid \mid } & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) \\
N(A) & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) \\
\end{align*}
$

2a)
Pour $X_0= (1 \dots 1)$, le sup est atteint.

2b)
$N(A) \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) $
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 16:31
avatar
2c)
$
\begin{align*}
\forall i,j \quad c_{i,j} &= \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid &= \sum_j \mid \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq \sum_j \sum_{k=1}^{n} \mid a_{i,k} \mid \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq \sum_j \left( \sum_{k=1}^{n} \mid a_{i,k} \mid \right) \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq N(A) \sum_j \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq N(A) N(B) \\
N(AB) &\leq N(A) N(B) \\


\end{align*}
$
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 16:50
avatar
3a)

Soit $X$ une colonne associée à la valeur propre $\lambda$, alors $\max_i \{ \mid \lambda x_i \mid \} = \max_i \{ \mid \lambda \mid \mid x_i \mid \}$ donc $ \mid \mid \lambda X \mid \mid = \mid \lambda \mid \times \mid \mid X \mid \mid $

$
\begin{align*}
\dfrac{ \mid \mid A X \mid \mid }{ \mid \mid X \mid \mid } & \leq N(A) \\
\mid \mid A X \mid \mid & \leq \mid \mid X \mid \mid N(A) \\
\mid \mid \lambda X \mid \mid &\leq \mid \mid \lambda \mid \mid N(A) \\
\mid \lambda \mid \times \mid \mid X \mid \mid &\leq N(A) \\
\end{align*}
$
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 17:00
avatar
3b) Par l'absurde, on suppose que $A$ admet $\lambda >1$ comme valeur propre, soit $X$ un vecteur propre associé.


$
\begin{align*}

\mid A X \mid &= \lambda \mid X \mid \\
\underbrace{ \mid A^p X \mid }_{ < N(A^p) \mid X \mid } &= \lambda ^p \mid X \mid \\
\end{align*}
$

Le terme de gauche tend vers zéro en $p$, mais pas le terme de droite, absurde.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 17:16
avatar
On décompose $X$ sur une base de vecteurs propres.
$| A ^p X | \leq \sum_i | \lambda_i | ^p | x_i | $ donc $ \dfrac{ \| A^pX \|} { \| X \| } \to 0$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 17:19 par AD.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 19:04
avatar
4a) On prend $i$ qui réalise le max de $\ \{ | z_k | , k \}$ , on a $z_i >0$.
$
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n a_{i,j} z_j &=0 \\
a_{i,i} z_i &= - \sum_{ j \ne i} a_{i,j} z_j \\
| a_ {i,i} | &\leq \sum_{ j \ne i} a_{i,j} \dfrac{| z_j |}{ |z_i |} \\
| a_ {i,i} | &\leq \sum_{ j \ne i} | a_{i,j} | \\
\end{align*}
$

[Le module s'écrit avec des $|z|$ et pas des \mid qui mettent trop d'espace $\mid z\mid$. winking smiley AD]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 19:24 par AD.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 19:13
avatar
4c) On prend la contraposée : une condition suffisante est que pour tout $i,\ | a_{i,i} | > \sum_{ j \ne i} | a_{i,j}| $



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 19:25 par AD.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 19:23
avatar
4 d) Si $\lambda$ est une valeur propre, alors ilexiste $i$ tel que $\lambda \in \mathcal{C}( a_{i,i} , \sum_{i \ne j} | a_{i,j} |) $.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 19:26 par AD.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 19:36
avatar
Merci AD
[À ton service smiling smiley. AD]

5 d)
$\begin{align*}
||Y|| &\geq \delta ||V|| \\
||AV|| &\geq \delta ||V|| \\
||Y|| &\geq \delta ||A^{-1} Y|| \\
||A^{-1} Y || &\leq ||Y|| \dfrac{1}{\delta} \\
N( A^{-1}) &\leq \dfrac{1}{\delta} \\
\end{align*}
$

Pour la dernière ligne, on passe au sup.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 20:30 par AD.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 19:38
avatar
5 c) On prend $i_0$ qui réalise le max de $ \{ |v_i| , i \}$
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 19:40
avatar
5 b) $ \forall j , - |v_j| < \|V\| $

[$\LaTeX$ fournit la commande \| qui remplace les || en gérant l'espacement des barres verticales. winking smiley AD]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 20:30 par AD.
Re: Norme matricielle
13 avril 2021, 20:01
avatar
Comment fait-on pour la question 5a) ? Merci.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 21:32 par zestiria.
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