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Algèbre
Norme matricielle
zestiria
April 2021
dans
Algèbre
Je fais ce exercice.
Réponses
P.
April 2021
Tu sais, tu fais ce que tu veux.
zestiria
April 2021
1)
$
\begin{align*}
\mid \mid AX \mid \mid &= \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} x_j \mid , j \leq n \right) \\
& \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid \mid x_j \mid , j \leq n \right) \\
\forall X, \dfrac{ \mid \mid AX \mid \mid }{ \mid \mid X \mid \mid } & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) \\
N(A) & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) \\
\end{align*}
$
2a)
Pour $X_0= (1 \dots 1)$, le sup est atteint.
2b)
$N(A) \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) $
zestiria
April 2021
2c)
$
\begin{align*}
\forall i,j \quad c_{i,j} &= \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid &= \sum_j \mid \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq \sum_j \sum_{k=1}^{n} \mid a_{i,k} \mid \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq \sum_j \left( \sum_{k=1}^{n} \mid a_{i,k} \mid \right) \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq N(A) \sum_j \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq N(A) N(B) \\
N(AB) &\leq N(A) N(B) \\
\end{align*}
$
zestiria
April 2021
3a)
Soit $X$ une colonne associée à la valeur propre $\lambda$, alors $\max_i \{ \mid \lambda x_i \mid \} = \max_i \{ \mid \lambda \mid \mid x_i \mid \}$ donc $ \mid \mid \lambda X \mid \mid = \mid \lambda \mid \times \mid \mid X \mid \mid $
$
\begin{align*}
\dfrac{ \mid \mid A X \mid \mid }{ \mid \mid X \mid \mid } & \leq N(A) \\
\mid \mid A X \mid \mid & \leq \mid \mid X \mid \mid N(A) \\
\mid \mid \lambda X \mid \mid &\leq \mid \mid \lambda \mid \mid N(A) \\
\mid \lambda \mid \times \mid \mid X \mid \mid &\leq N(A) \\
\end{align*}
$
zestiria
April 2021
3b)
Par l'absurde, on suppose que $A$ admet $\lambda >1$ comme valeur propre, soit $X$ un vecteur propre associé.
$
\begin{align*}
\mid A X \mid &= \lambda \mid X \mid \\
\underbrace{ \mid A^p X \mid }_{ < N(A^p) \mid X \mid } &= \lambda ^p \mid X \mid \\
\end{align*}
$
Le terme de gauche tend vers zéro en $p$, mais pas le terme de droite, absurde.
zestiria
April 2021
On décompose $X$ sur une base de vecteurs propres.
$| A ^p X | \leq \sum_i | \lambda_i | ^p | x_i | $ donc $ \dfrac{ \| A^pX \|} { \| X \| } \to 0$
zestiria
April 2021
4a)
On prend $i$ qui réalise le max de $\ \{ | z_k | , k \}$ , on a $z_i >0$.
$
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n a_{i,j} z_j &=0 \\
a_{i,i} z_i &= - \sum_{ j \ne i} a_{i,j} z_j \\
| a_ {i,i} | &\leq \sum_{ j \ne i} a_{i,j} \dfrac{| z_j |}{ |z_i |} \\
| a_ {i,i} | &\leq \sum_{ j \ne i} | a_{i,j} | \\
\end{align*}
$
[Le module s'écrit avec des $|z|$ et pas des \mid qui mettent trop d'espace $\mid z\mid$. ;-) AD]
zestiria
April 2021
4c)
On prend la contraposée : une condition suffisante est que pour tout $i,\ | a_{i,i} | > \sum_{ j \ne i} | a_{i,j}| $
zestiria
April 2021
4 d)
Si $\lambda$ est une valeur propre, alors ilexiste $i$ tel que $\lambda \in \mathcal{C}( a_{i,i} , \sum_{i \ne j} | a_{i,j} |) $.
zestiria
April 2021
Merci AD
[À ton service :-). AD]
5 d)
$\begin{align*}
||Y|| &\geq \delta ||V|| \\
||AV|| &\geq \delta ||V|| \\
||Y|| &\geq \delta ||A^{-1} Y|| \\
||A^{-1} Y || &\leq ||Y|| \dfrac{1}{\delta} \\
N( A^{-1}) &\leq \dfrac{1}{\delta} \\
\end{align*}
$
Pour la dernière ligne, on passe au sup.
zestiria
April 2021
5 c)
On prend $i_0$ qui réalise le max de $ \{ |v_i| , i \}$
zestiria
April 2021
5 b)
$ \forall j , - |v_j| < \|V\| $
[$\LaTeX$ fournit la commande
\|
qui remplace les || en gérant l'espacement des barres verticales. ;-) AD]
zestiria
April 2021
Comment fait-on pour la question 5a) ?
Merci.
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Réponses
$
\begin{align*}
\mid \mid AX \mid \mid &= \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} x_j \mid , j \leq n \right) \\
& \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid \mid x_j \mid , j \leq n \right) \\
\forall X, \dfrac{ \mid \mid AX \mid \mid }{ \mid \mid X \mid \mid } & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) \\
N(A) & \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) \\
\end{align*}
$
2a)
Pour $X_0= (1 \dots 1)$, le sup est atteint.
2b)
$N(A) \leq \max_j \left( \mid \sum_i a_{ij} \mid , j \leq n \right) $
$
\begin{align*}
\forall i,j \quad c_{i,j} &= \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid &= \sum_j \mid \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq \sum_j \sum_{k=1}^{n} \mid a_{i,k} \mid \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq \sum_j \left( \sum_{k=1}^{n} \mid a_{i,k} \mid \right) \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq N(A) \sum_j \mid b_{k,j} \mid \\
\forall i , \sum_j \mid c_{i,j} \mid & \leq N(A) N(B) \\
N(AB) &\leq N(A) N(B) \\
\end{align*}
$
Soit $X$ une colonne associée à la valeur propre $\lambda$, alors $\max_i \{ \mid \lambda x_i \mid \} = \max_i \{ \mid \lambda \mid \mid x_i \mid \}$ donc $ \mid \mid \lambda X \mid \mid = \mid \lambda \mid \times \mid \mid X \mid \mid $
$
\begin{align*}
\dfrac{ \mid \mid A X \mid \mid }{ \mid \mid X \mid \mid } & \leq N(A) \\
\mid \mid A X \mid \mid & \leq \mid \mid X \mid \mid N(A) \\
\mid \mid \lambda X \mid \mid &\leq \mid \mid \lambda \mid \mid N(A) \\
\mid \lambda \mid \times \mid \mid X \mid \mid &\leq N(A) \\
\end{align*}
$
$
\begin{align*}
\mid A X \mid &= \lambda \mid X \mid \\
\underbrace{ \mid A^p X \mid }_{ < N(A^p) \mid X \mid } &= \lambda ^p \mid X \mid \\
\end{align*}
$
Le terme de gauche tend vers zéro en $p$, mais pas le terme de droite, absurde.
$| A ^p X | \leq \sum_i | \lambda_i | ^p | x_i | $ donc $ \dfrac{ \| A^pX \|} { \| X \| } \to 0$
$
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n a_{i,j} z_j &=0 \\
a_{i,i} z_i &= - \sum_{ j \ne i} a_{i,j} z_j \\
| a_ {i,i} | &\leq \sum_{ j \ne i} a_{i,j} \dfrac{| z_j |}{ |z_i |} \\
| a_ {i,i} | &\leq \sum_{ j \ne i} | a_{i,j} | \\
\end{align*}
$
[Le module s'écrit avec des $|z|$ et pas des \mid qui mettent trop d'espace $\mid z\mid$. ;-) AD]
[À ton service :-). AD]
5 d)
$\begin{align*}
||Y|| &\geq \delta ||V|| \\
||AV|| &\geq \delta ||V|| \\
||Y|| &\geq \delta ||A^{-1} Y|| \\
||A^{-1} Y || &\leq ||Y|| \dfrac{1}{\delta} \\
N( A^{-1}) &\leq \dfrac{1}{\delta} \\
\end{align*}
$
Pour la dernière ligne, on passe au sup.
[$\LaTeX$ fournit la commande \| qui remplace les || en gérant l'espacement des barres verticales. ;-) AD]