Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
262 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Matrice à diagonale propre

Envoyé par zestiria 
Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 21:21
avatar
Je fais cet exercice.


Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 21:32
avatar
1a) Une matrice diagonale est à diagonale propre.
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 21:40
avatar
1b)
$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & \ddots \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & \ddots \\
\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & \ddots \\
\end{bmatrix}
$

Les deux premières matrices sont à diagonales propre, mais pas leur somme, donc $\mathcal{E}_n$ n'est pas un sous-espace vectoriel.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 21:41 par zestiria.
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 21:52
avatar
1c)

$
A=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & 0 & 0 & 0 \\
a_{1,2} & a_{2,2} & 0 & 0 \\
a_{1,3 } & a_{2,3} & a_{3,3} & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{bmatrix}

+
\begin{bmatrix}
0 & a_{2,1} & a_{1,2} & \dots \\
0 & 0 & a_{2,3} & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{bmatrix}
$

On a décomposé toute matrice en somme de deux matrices à diagonales propres.
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 22:03
avatar
1 d) Ce sont les matrices triangulaires. Son polynôme caractéristique vaut $ ( \lambda - a_{1,1} ) ( \lambda - a_{2,2} ) $,
on connaît ses valeurs propres, donc $ a_{1,2} \times a_{2,1}=0$
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 22:05
avatar
(2b) Les termes non diagonaux sont nuls, il s'agit des matrices symétriques.
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 22:15
avatar
(4a) $\dfrac{ n(n-1)}{2}$.

(4b) $F \cap A_n = 0 \implies \dim F + \dim A \leq n^2 \implies \dim F \leq n^2 - \dfrac{ n(n-1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

[$\LaTeX$ fournit la commande \dim . winking smiley AD]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/04/2021 23:02 par AD.
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 22:25
avatar
(4c) Il y a égalité. On prend une matrice avec la première ligne non nulle, la première colonne nulle (excepté le premier terme) puis un bloc triangulaire inférieur. Il y a $\dfrac{n(n+1)}{2}$ coefficients libres.
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 22:44
avatar
(3 a) $A$ est antisymétrique donc sa diagonale est nulle, mais les termes de sa diagonale sont ses valeurs propres; donc ses seules valeurs propres sont zéro. $A$ est semblable à une matrice triangulaire inférieure avec ses coefficients diagonaux nuls, donc nilpotente.

${}^tAA$ est symétrique à coefficients réels donc diagonalisable, or $A^n=0$ donc $({}^tAA)^n=(-1)^n A^{2n}=0$ donc ${}^tAA=0$ donc $A=0$
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 22:44
avatar
Cela conclut le fil.
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 22:51
avatar
Ce serait pas une idée de faire un seul post que tu édites au fur et à mesure ?
Re: Matrice à diagonale propre
13 avril 2021, 23:42
avatar
Je fais un post par question.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 359, Messages: 1 538 628, Utilisateurs: 28 270.
Notre dernier utilisateur inscrit Mr Jull.


Ce forum
Discussions: 19 959, Messages: 201 632.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page