1 d) Ce sont les matrices triangulaires. Son polynôme caractéristique vaut $ ( \lambda - a_{1,1} ) ( \lambda - a_{2,2} ) $,
on connaît ses valeurs propres, donc $ a_{1,2} \times a_{2,1}=0$
(4c) Il y a égalité. On prend une matrice avec la première ligne non nulle, la première colonne nulle (excepté le premier terme) puis un bloc triangulaire inférieur. Il y a $\dfrac{n(n+1)}{2}$ coefficients libres.
(3 a) $A$ est antisymétrique donc sa diagonale est nulle, mais les termes de sa diagonale sont ses valeurs propres; donc ses seules valeurs propres sont zéro. $A$ est semblable à une matrice triangulaire inférieure avec ses coefficients diagonaux nuls, donc nilpotente.
${}^tAA$ est symétrique à coefficients réels donc diagonalisable, or $A^n=0$ donc $({}^tAA)^n=(-1)^n A^{2n}=0$ donc ${}^tAA=0$ donc $A=0$
Réponses
$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & \ddots \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & \ddots \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & \ddots \\
\end{bmatrix}
$
Les deux premières matrices sont à diagonales propre, mais pas leur somme, donc $\mathcal{E}_n$ n'est pas un sous-espace vectoriel.
$
A=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & 0 & 0 & 0 \\
a_{1,2} & a_{2,2} & 0 & 0 \\
a_{1,3 } & a_{2,3} & a_{3,3} & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & a_{2,1} & a_{1,2} & \dots \\
0 & 0 & a_{2,3} & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{bmatrix}
$
On a décomposé toute matrice en somme de deux matrices à diagonales propres.
on connaît ses valeurs propres, donc $ a_{1,2} \times a_{2,1}=0$
(4b) $F \cap A_n = 0 \implies \dim F + \dim A \leq n^2 \implies \dim F \leq n^2 - \dfrac{ n(n-1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
[$\LaTeX$ fournit la commande \dim . ;-) AD]
${}^tAA$ est symétrique à coefficients réels donc diagonalisable, or $A^n=0$ donc $({}^tAA)^n=(-1)^n A^{2n}=0$ donc ${}^tAA=0$ donc $A=0$