Matrice à diagonale propre

zestiria
zestiria
dans Algèbre
Je fais cet exercice.120304

Réponses

  • zestiria
    zestiria
    1a) Une matrice diagonale est à diagonale propre.
  • zestiria
    zestiria
    1b)
    $
    \begin{bmatrix}
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1& 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
    0 &0 & 0 & \ddots \\
    \end{bmatrix}
    +
    \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    1 & 1& 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
    0 &0 & 0 & \ddots \\
    \end{bmatrix}

    =

    \begin{bmatrix}
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    1 & 1& 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
    0 &0 & 0 & \ddots \\
    \end{bmatrix}
    $

    Les deux premières matrices sont à diagonales propre, mais pas leur somme, donc $\mathcal{E}_n$ n'est pas un sous-espace vectoriel.
  • zestiria
    zestiria
    1c)

    $
    A=
    \begin{bmatrix}
    a_{1,1} & 0 & 0 & 0 \\
    a_{1,2} & a_{2,2} & 0 & 0 \\
    a_{1,3 } & a_{2,3} & a_{3,3} & 0 \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
    \end{bmatrix}

    +
    \begin{bmatrix}
    0 & a_{2,1} & a_{1,2} & \dots \\
    0 & 0 & a_{2,3} & \dots \\
    0 & 0 & 0 & \dots \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
    \end{bmatrix}
    $

    On a décomposé toute matrice en somme de deux matrices à diagonales propres.
  • zestiria
    zestiria
    1 d) Ce sont les matrices triangulaires. Son polynôme caractéristique vaut $ ( \lambda - a_{1,1} ) ( \lambda - a_{2,2} ) $,
    on connaît ses valeurs propres, donc $ a_{1,2} \times a_{2,1}=0$
  • zestiria
    zestiria
    (2b) Les termes non diagonaux sont nuls, il s'agit des matrices symétriques.
  • zestiria
    zestiria
    (4a) $\dfrac{ n(n-1)}{2}$.

    (4b) $F \cap A_n = 0 \implies \dim F + \dim A \leq n^2 \implies \dim F \leq n^2 - \dfrac{ n(n-1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

    [$\LaTeX$ fournit la commande \dim . ;-) AD]
  • zestiria
    zestiria
    (4c) Il y a égalité. On prend une matrice avec la première ligne non nulle, la première colonne nulle (excepté le premier terme) puis un bloc triangulaire inférieur. Il y a $\dfrac{n(n+1)}{2}$ coefficients libres.
  • zestiria
    zestiria
    (3 a) $A$ est antisymétrique donc sa diagonale est nulle, mais les termes de sa diagonale sont ses valeurs propres; donc ses seules valeurs propres sont zéro. $A$ est semblable à une matrice triangulaire inférieure avec ses coefficients diagonaux nuls, donc nilpotente.

    ${}^tAA$ est symétrique à coefficients réels donc diagonalisable, or $A^n=0$ donc $({}^tAA)^n=(-1)^n A^{2n}=0$ donc ${}^tAA=0$ donc $A=0$
  • zestiria
    zestiria
    Cela conclut le fil.
  • marsup
    marsup
    Ce serait pas une idée de faire un seul post que tu édites au fur et à mesure ?
  • zestiria
    zestiria
    Je fais un post par question.
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