Extension de base de $ \Q $-variétés

Bonjour,

Soit $ k $ un corps.
Soit $ X $ une variété projective lisse sur $ k $ de dimension $ d $.
On note par $ \overline{X} = X \times_k \overline{k} \ $ l'extension de base de $ X $ à la clôture algébrique $ \overline{k} $.
Soit $ G = \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) $ le groupe de Galois de $ \overline{k} $ sur $ k $.
Dans un cours que je dispose, on dit que $ G $ opère sur $ \overline{X} $ via le second facteur, sans préciser comment. Pouvez vous m'expliquer ce que signifie formellement cette phrase ?

Merci d'avance.

Merci @Poirot,
L'action est donc définie par, $ g \cdot ( ''?'' , (x_1 , \dots , x_d) )) = ( ''?'' , g \cdot (x_1 , \dots , x_{d} ) ) = ( ''?'' , ( g(x_1) , \dots , g( x_{d} )) ) $ pour $ g \in G $, et pour tout $ (x_1 , \dots , x_n ) \in \overline{k}^{ \ \ d } $. Est ce que c'est ça ?
Que mettre à la place des points d'interrogations $ '' ? '' $ ?
Merci d'avance.

D'accord. L'action est donc définie par, $ g \cdot ( ''?'' , x ) = ( ''?'' , g \cdot x ) $ pour $ g \in G $, et pour tout $ x \in \overline{k} $. Est ce que c'est ça ?
Que mettre à la place des points d'interrogations $ '' ? '' $ ?

S'il te plait ! Je suis coincé. :-(

On va aller doucement pour mettre un peu d'ordre dans le cerveau.
$ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) $ agit sur $ X \times_k \overline{k} := X \times_{ \mathrm{Spec} \ k } \mathrm{Spec} \ \overline{k} $ comme suit,
Tout $ \sigma \in \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) $ s'identifie à un automorphisme, $ \sigma_{X , \overline{k}} \ : \ X \times_{ \mathrm{Spec} \ k } \mathrm{Spec} \ \overline{k} \to X \times_{ \mathrm{Spec} \ k } \mathrm{Spec} \ \overline{k} $, définie, par, $ \sigma_{ X , \overline{k} } = \mathrm{id}_X \times \mathrm{Spec} \ \sigma^{-1} $
Voir ici, https://math.stackexchange.com/questions/3785792/how-does-the-galois-group-act-on-morphisms-of-varieties
Donc, pour tout $ ((x_1 , \dots , x_n), P_j) \in X \times_{ \mathrm{Spec} \ k } \mathrm{Spec} \ \overline{k} $,
$ \Big( \mathrm{id}_X \times \mathrm{Spec} \ \sigma^{-1} \Big) ( (x_1 , \dots , x_d) , P_{j} ) = ( (x_1 , \dots , x_n ) , ^{ \sigma^{-1} } P_{j} ) $, avec, $ P_j \in I (X) = \{ \ P \in k [X_1 , \dots , X_d ] \ | \ P(x_1 , \dots , x_n ) = 0 \ , \ \forall (x_1 , \dots , x_n ) \in X \ \}$
Est ce que c'est ça ?

@Poirot,
La conjecture de Hodge ne porte pas sur les actions du groupe de Galois absolu sur des $ k $ - variétés. Les actions du groupe de Galois absolu sur une $ k $ - variété relève du domaine de géométrie arithmétique, et non de géométrie algébrique. :-)

Voici où en est-on arreté @Poirot,

$ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) $ agit sur $ X \times_k \overline{k} := X \times_{ \mathrm{Spec} \ k } \mathrm{Spec} \ \overline{k} $ comme suit,
Tout $ \sigma \in \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k ) $ s'identifie à un automorphisme, $ \sigma_{X , \overline{k}} \ : \ X \times_{ \mathrm{Spec} \ k } \mathrm{Spec} \ \overline{k} \to X \times_{ \mathrm{Spec} \ k } \mathrm{Spec} \ \overline{k} $, définie, par, $ \sigma_{ X , \overline{k} } = \mathrm{id}_X \times \mathrm{Spec} \ \sigma^{-1} $
Voir ici, https://math.stackexchange.com/questions/3785792/how-does-the-galois-group-act-on-morphisms-of-varieties
Donc, pour tout $ ((x_1 , \dots , x_n), P_j) \in X \times_{ \mathrm{Spec} \ k } \mathrm{Spec} \ \overline{k} $,
$ \Big( \mathrm{id}_X \times \mathrm{Spec} \ \sigma^{-1} \Big) ( (x_1 , \dots , x_d) , P_{j} ) = ( (x_1 , \dots , x_n ) , ^{ \sigma^{-1} } P_{j} ) $, avec, $ P_j \in I (X) = \{ \ P \in k [X_1 , \dots , X_d ] \ | \ P(x_1 , \dots , x_n ) = 0 \ , \ \forall (x_1 , \dots , x_n ) \in X \ \}$
Est ce que c'est ça @Poirot ?

Un coup de main s'il vous plait. Merci.