Bonsoir,
Je comprends toute la preuve, très bien expliquée, mais je me demande comment trouver la matrice $P_{n+1}$ tout seul :-S
Théorème 48 :Un endomorphisme $u \in \mathcal L(E)$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\K$.
Réponses
On utilise la base adaptée $B_{depart}=(x,e_2, \cdots,e_n,e_{n+1})$. La matrice $P_{n+1}$ est constituée des coordonnées des vecteurs propres dans la base adaptée choisie.
On a $x= 1 \times x$ donc la première colonne est constituée d'un $1$ et que des $0$ en dessous.
Mais j'ai du mal à comprendre la partie $\begin{pmatrix} O_{1n} \\ P_n \end{pmatrix} $. Pourquoi un $0$ dans la première ligne ?
Ca m'a l'air flou encore.
Ce qui me pose problème c'est que je ne comprends pas comment on trouve l'expression de $P_{n+1}$.
En posant $P_{n+1}= \begin{pmatrix} a & B \\ C & D \end{pmatrix} $ avec $a \in \R$, $B \in M_{n,1}(\R)$, $C \in M_{1,n} (\R)$ et $D \in M_{n,n}(\R)$ ?
Où il y a une méthode plus astucieuse ?
1) Trouver un objet simple qui pourrait marcher, les calculs pour vérifier si l'objet simple marche sont rapides et faciles. En espérant que ça marche.
2) Mettre des coefficients et des équations partout, y a du calcul on sait pas si on va s'en sortir, et après si on y arrive on se rend compte que l'objet trouvé était presque évident
Ici, choisis ton camp :-D
Thierry Poma, merci j'ai compris tu démontrer que $A$ est trigonalisable mais j'ai du mal à comprendre comment on en déduit que $P_{n+1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & P_n \end{pmatrix} $
Quand je reviens à la définition d'une matrice de passage, je n'arrive pas à comprendre pourquoi la matrice $P_{n+1}$ est égale à ça.
Tu passes d'une base {x ; e[small]2[/small] ; e[small]3[/small] ... e[small]n[/small]} à une base {x ; f[small]2[/small] ; ... f[small]n[/small]}
Nous sommes dans le cas où $\dim\,E=n+1$. Considérons un hyperplan quelconque $H$ supplémentaire de la droite vectorielle $\Bbb{K}\,x$ dans $E$, supplémentaire dont une base est $(x_1,\,\cdots,\,x_n)$. Ce faisant, $\mathcal{B}=(x,\,x_1,\,\cdots,\,x_n)$ est une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme voulue\[\left(\begin{array}{cc}\lambda&L\\0&A\end{array}\right)\]Cela étant dit, en général; les scalaires formant la matrice $L$ ne sont pas tous nuls et le sous-espace vectoriel $H$ n'est pas stable par $u$. Vu que $E=\Bbb{K}\,x\oplus{}H$, considérons la projection $\pi_x$ de $E$ sur $H$ parallèlement à la droite vectorielle $\Bbb{K}\,x$, ainsi que l'endomorphisme $v=\pi_x\circ{}u$. Remarquons immédiatement que $\pi_x(x)=0_E$. Vu que $v$ stabilise clairement $H$ (le vérifier !), considérons l'endomorphisme $v'\in\mathcal{L}_n(\Bbb{K})$ induit sur $H$ par $v$. Par récurrence, $v'$ est donc trigonalisable dans une base $(h_1,\,\cdots,\,h_n)$ de $H$ (base formée de vecteurs propres de $v'$), ce qui nous fournit la matrice de passage $P_n$ et a fortiori la matrice de passage $P_{n+1}$.
Montrons que $v$ stabilise $H$. Soit $y \in H$. Alors $y= \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k$
On a $u(y)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_k u( x_k )$ où $u(x_k) \in Vect(x,x_1, \ldots, x_n)$. Donc $u(y)=\beta x + \displaystyle\sum_{k=1}^n \beta_k x_k$
Mais $v(y)=\pi_x (u(y))= \pi_x \Big( \displaystyle\sum_{k=1}^n \beta_k x_k + \beta x \Big) =\pi_x \Big(\sum_{k=1}^n \beta_k x_k\Big)+ \pi_x (\beta x)= \sum_{k=1}^n \beta_k x_k \in H$.
La matrice $P_{n+1}$ contient les coordonnées des vecteurs $x,h_1, \ldots ,h_n$ dans la base $\mathcal B$ donc la première colonne de la matrice est un $1$ suivi de que des $0$.
Comme $H \cap \K x = \{0 \}$ les vecteurs $x,h_1, \ldots ,h_n$ n'ont aucune composante suivant $x$ dans la base $\mathcal B$ d'où les zéros sur la première ligne.
Deuxièmement, j'ai commencé à partir de "Supposons le résultat vrai au rang (...)". Ok ? J'ai donc repris le $\Bbb{K}$-ev $E$ de ton texte tel que $\dim\,E=n+1$, rien de plus. Soit $\mathcal{B}_E=(e_1,\,\cdots,\,e_{n+1})$ une $\Bbb{K}$-base de $E$. Dans la pratique, c'est généralement dans cette base que l'on travaille. Or, dans ton texte, tout change. Pour ta défense, cela n'est pas dit explicitement ; en fait rien n'est indiqué. J'ai pris le soin d'écrire que $E=\Bbb{K}\,x\oplus{}H$, où $H$ est un hyperplan quelconque dont une $\Bbb{K}$-base est $(x_1,\,\cdots,\,x_n)$. Les auteurs travaillent donc dans la $\Bbb{K}$-base $\mathcal{B}=(x,\,x_1,\,\cdots,\,x_n)$ de $E$ ; ils laissent de côté la $\Bbb{K}$-base $\mathcal{B}_E$ qui ne nous arrangent pas du tout du point de vue théorique.
Dans cette $\Bbb{K}$-base $\mathcal{B}$, il devient alors clair que le vecteur $\left(\begin{array}{c}1\\0_{n,\,1}\end{array}\right)$ est bien un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$. Ok ? Enfin, pour tout $k$ appartenant à $\Bbb{N}\cap[1,\,n]$, le vecteur $h_k$ qui appartient à $H$ s'exprime comme combinaison linéaire des vecteurs de la $\Bbb{K}$-base $(x_1,\,\cdots,\,x_n)$ de $H$ uniquement, ce qui nous conduit à la matrice de passage $P_n$ et a fortiori à la matrice de passage $P_{n+1}$ sans aucune difficulté.
Poirot t'avait donné l'idée sous-jacente.
Merci Thierry Poma c'est très clair.