Formalisme pour les $(\infty,1)$-catégories ?

ça dépend un peu (t'inquiète, je vais développer :-D )

En gros, tu as plusieurs approches pour un tel machin :

1- Une approche syntaxique (où tu vois ta syntaxe comme un "cahier des charges" - après si tu considères qu'une syntaxe donnée est juste un choix de modèle... ça va être plus complexe). C'est fait de plusieurs manières, par exemple je crois que Guillaume Brunerie a une définition syntaxique d'$\infty$-groupoïde (bon c'est pas tout à fait ce qu'on veut mais c'est un début); ou encore Riehl-Shulman ont développé (et travaillent encore dessus) une théorie synthétique des $(\infty,1)$-catégories en théorie homotopique des types (ce qui est un bon signe pour cette dernière !). C'est synthétique au sens où c'est syntaxique.
Il doit y avoir d'autres approches de ce genre, mais à ma connaissance aucune n'est allée aussi loin que les modèles pour le moment.

2- Riehl-Verity ont une approche très intéressante qui fait quasiment ce que tu veux : iels définissent ce qu'est un $\infty$-cosmos (à penser comme "une théorie des $\infty$-catégories), et étudient les propriétés de $\infty$-cosmoi, ce qui leur permet d'énoncer des résultats "indépendants du modèle" dans toute théorie des $\infty$-catégorie.
La définition d'$\infty$-cosmos est tout à fait du style "bam un cahier des charges", et elle est presque $2$-catégorique, donc c'est presque ce que tu veux (puisque les $2$-catégories on sait très bien définir de la même manière que des $1$-catégories, il y a pas à s'inquiéter pour celles-là; si tu me dis $6$-catégories là je vais être plus gêné). Je dis "presque" parce qu'en fait elle repose sur un modèle de la théorie des $(\infty,1)$-catégories.

Bon en l'occurrence, RV ont choisi les quasicatégories à la Joyal-Lurie parce que ce qui est le plus développé, mais pour des raisons évidentes (:-D) leur théorie marcherait pour à peu près n'importe quel modèle. Mais il faut choisir un modèle. Leur idée est la suivante: un $\infty$-cosmos, c'est une catégorie enrichie (strictement !) en [ $(\infty,1)$-catégories au sens du modèle fixé une fois pour toutes ], + quelques autres données et des axiomes. On montre alors que les quasicatégories forment un $\infty$-cosmos, mais aussi les espaces complets de Segal, et tout plein d'autres modèles populaires, et RV ont ensuite des théorèmes d'indépendance du modèle qui montrent que tous ces trucs là marchent pareil.
Donc c'est quasiment de la forme "cahier des charges" et quasiment modèle-indépendant : ça l'est, une fois qu'on a fixé un modèle de base (qui est là pour permettre de travailler en fait)

3- En pratique, de nos jours, les gens qui font des $(\infty,1)$-catégories avec des buts d'applications (et pas pour l'étude de ces dernières) utilisent principalement le modèle des quasicatégories, mais ce, de manière "synthétique" et "indépendante du modèle". En gros, on admet 2-3 (bon, beaucoup plus :-D ) résultats "fondateurs" dont on décrète qu'ils doivent être vrais dans n'importe quel modèle (une théorie fonctionnelle des adjonctions, des co/limites, le lemme de Yoneda sous toutes ces formes, etc.) et travaillent avec ces derniers, en ne mettant que très rarement les pieds dans la "machine simpliciale" de Joyal-Lurie-etc. Après, on a de la chance, lesdits résultats fondateurs ont été démontrés dans ce modèle, donc on n'a pas peur.
ça a plusieurs avantages, notamment que si un jour on trouve un meilleur modèle, bah pour transférer les résultats on n'aura quasi rien à faire, juste à prouver les "résultats fondateurs" (de même d'ailleurs si on trouve un théorie axiomatique de la forme que tu cherches !); et aussi c'est bien pratique en pratique, ça permet de faire comme si on faisait des $1$-catégories en faisant juste attention
(parce que oui, les $(\infty,1)$-catégories ce ne sont pas "vraiment" des catégories supérieures; c'est juste des $1$-catégories un peu plus lax)


Finalement, par rapport à ton édit, remarque qu'un ensemble simplicial, c'est exactement un graphe en dimensions supérieures !! Tu as des $0$-simplexes (les sommets), des $1$-simplexes (les arêtes), des $2$-simplexes (qui "relient" des arêtes) etc. etc. Du coup c'est pas surprenant que les $\infty$-catégories puissent être vues comme des ensembles simpliciaux (cf. le modèle des quasicatégories) !

En fait, c'est simplement l'idée que la phrase "ce diagramme commute" (qui est "la phrase" de la théorie des catégories) peut se réduire à des phrases de la forme $f\circ g = h$, et que celle-là, si tu fais un dessin, c'est un triangle "rempli", i.e. un $2$-simplexe. Le fait que ça marche si bien est selon moi lié à la propriété universelle de $\Delta$, mais je n'ai pas d'énoncé précis en tête (à part ladite propriété universelle ) donc je ne pourrais pas en dire plus sans m'aventurer dans de la philo pure.