Matrice inversible, je la souhaiterais ortho
dans Algèbre
Bonjour
J'ai du mal avec le début de cet exercice.
J'ai d'abord tenté de multiplier par des inverses, des transposées, de réarranger tout cela, mais je ne parviens pas à prouver que le cube de cette matrice est l'identité.
J'ai essayé de trouver des relations grâce aux opérations sur les déterminants, mais tout ce que j'en ai tiré était que det(A)=1.
Pour savoir où je devais arriver, je suis "parti de la solution". J'ai regardé ce que je pouvais faire avec cette relation. Ce que j'ai pu en tirer (bien que je l'avais remarqué depuis le début), c'est que ça serait bien pratique que la matrice soit orthogonale. J'aurais pu directement dire tA=A-1 et ça aurait été fini. Et d'ailleurs, la matrice est en effet orthogonale, on l'utilise par la suite.
C'est pour cela que je me suis dit: si je prouvais dès cette question que la matrice est orthogonale, je pourrais m'en sortir. Seulement voilà: je n'arrive pas, avec les données de l'énoncé, à trouver comment je pourrais faire.
Si vous avez une solution ou même une piste, je serai ravi de vous lire.
Merci de m'avoir accordé votre temps.
Adrien R.
J'ai du mal avec le début de cet exercice.
J'ai d'abord tenté de multiplier par des inverses, des transposées, de réarranger tout cela, mais je ne parviens pas à prouver que le cube de cette matrice est l'identité.
J'ai essayé de trouver des relations grâce aux opérations sur les déterminants, mais tout ce que j'en ai tiré était que det(A)=1.
Pour savoir où je devais arriver, je suis "parti de la solution". J'ai regardé ce que je pouvais faire avec cette relation. Ce que j'ai pu en tirer (bien que je l'avais remarqué depuis le début), c'est que ça serait bien pratique que la matrice soit orthogonale. J'aurais pu directement dire tA=A-1 et ça aurait été fini. Et d'ailleurs, la matrice est en effet orthogonale, on l'utilise par la suite.
C'est pour cela que je me suis dit: si je prouvais dès cette question que la matrice est orthogonale, je pourrais m'en sortir. Seulement voilà: je n'arrive pas, avec les données de l'énoncé, à trouver comment je pourrais faire.
Si vous avez une solution ou même une piste, je serai ravi de vous lire.
Merci de m'avoir accordé votre temps.
Adrien R.
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Réponses
C'est simple du commentaire de Poirot aussi.
Edit
Cordialement.
Merci beaucoup Poirot, la preuve est très courte en partant de votre conseil. D'habitude quand j'utilise la formule à partir de laquelle j'ai commencé, je tombe sur des "x=x", mais il semblerait qu'appliquer la transposée nous "crée" la relation qu'il me manquait pour terminer la démonstration.
Votre aide m'a été précieuse.
Très bonne journée à tous
Je suis ce fil, j'ai bien vu pourquoi A est normale, mais je ne comprends pas pourquoi A est inversible.
Merci de bien vouloir m'éclairer.
Comme l’énoncé donne que $A$ appartient au groupe linéaire, l’inversibilité fait partie de la notion de groupe.
Enfin, je crois.
Si $A\in GL_n(\R)$ vérifie $A^p=A^{T}$ pour un $p\in\N^*$ alors la matrice $B=A^{p-1}$ est orthogonale.