Matrice inversible, je la souhaiterais ortho

Bonjour
J'ai du mal avec le début de cet exercice.



J'ai d'abord tenté de multiplier par des inverses, des transposées, de réarranger tout cela, mais je ne parviens pas à prouver que le cube de cette matrice est l'identité.

J'ai essayé de trouver des relations grâce aux opérations sur les déterminants, mais tout ce que j'en ai tiré était que det(A)=1.
Pour savoir où je devais arriver, je suis "parti de la solution". J'ai regardé ce que je pouvais faire avec cette relation. Ce que j'ai pu en tirer (bien que je l'avais remarqué depuis le début), c'est que ça serait bien pratique que la matrice soit orthogonale. J'aurais pu directement dire ^tA=A^-1 et ça aurait été fini. Et d'ailleurs, la matrice est en effet orthogonale, on l'utilise par la suite.

C'est pour cela que je me suis dit: si je prouvais dès cette question que la matrice est orthogonale, je pourrais m'en sortir. Seulement voilà: je n'arrive pas, avec les données de l'énoncé, à trouver comment je pourrais faire.

Si vous avez une solution ou même une piste, je serai ravi de vous lire.
Merci de m'avoir accordé votre temps.

Adrien R.