Degré de $\Q(i,j,\sqrt2)$ sur $\Q$
Bonjour, dans mon exercice je dois déterminer le degré $[\Q(i,j,\sqrt2):\Q]$.
Pour cela, j'écris $[\Q(i,j,\sqrt2):\Q] = [\Q(i,j,\sqrt2):\Q(i,\sqrt2)][\Q(i,\sqrt2) : \Q]$.
Or, $[\Q(\sqrt2,i):\Q] = [\Q(\sqrt2,i) : \Q(\sqrt2)][\Q(\sqrt2):\Q] = 2.2 =4$.
De plus, $j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt3}{2}$ et $X^2-3$ irréductible sur $\Q(i,\sqrt2)$ donc $[\Q(i,j,\sqrt2 : \Q]=2$.
Ainsi, $[\Q(i,j,\sqrt2):\Q]= 8$.
Mon raisonnement est-il juste ?
Pour cela, j'écris $[\Q(i,j,\sqrt2):\Q] = [\Q(i,j,\sqrt2):\Q(i,\sqrt2)][\Q(i,\sqrt2) : \Q]$.
Or, $[\Q(\sqrt2,i):\Q] = [\Q(\sqrt2,i) : \Q(\sqrt2)][\Q(\sqrt2):\Q] = 2.2 =4$.
De plus, $j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt3}{2}$ et $X^2-3$ irréductible sur $\Q(i,\sqrt2)$ donc $[\Q(i,j,\sqrt2 : \Q]=2$.
Ainsi, $[\Q(i,j,\sqrt2):\Q]= 8$.
Mon raisonnement est-il juste ?
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