Degré de $\Q(i,j,\sqrt2)$ sur $\Q$

flar-tsi
flar-tsi
dans Algèbre
Bonjour, dans mon exercice je dois déterminer le degré $[\Q(i,j,\sqrt2):\Q]$.

Pour cela, j'écris $[\Q(i,j,\sqrt2):\Q] = [\Q(i,j,\sqrt2):\Q(i,\sqrt2)][\Q(i,\sqrt2) : \Q]$.
Or, $[\Q(\sqrt2,i):\Q] = [\Q(\sqrt2,i) : \Q(\sqrt2)][\Q(\sqrt2):\Q] = 2.2 =4$.
De plus, $j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt3}{2}$ et $X^2-3$ irréductible sur $\Q(i,\sqrt2)$ donc $[\Q(i,j,\sqrt2 : \Q]=2$.
Ainsi, $[\Q(i,j,\sqrt2):\Q]= 8$.

Mon raisonnement est-il juste ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    C'est juste, si tu justifies que chaque degré intermédiaire vaut $2$, ce qui peut se faire en montrant l'irréductibilité (donc l'absence de racine dans ce cas) de chaque polynôme engendrant les extensions successives. Ton raisonnement utilisant $X^2-3$ fonctionne si tu justifies que $\mathbb Q(\sqrt 2, i, j) = \mathbb Q(\sqrt 2, i, \sqrt 3)$.
  • flar-tsi
    flar-tsi
    La justification concernant les degrés intermédiaires a été faite dans un exercice précédent donc pas de problème là-dessus a priori. De plus on a $\Q(i,j,\sqrt2) = \Q(i,\sqrt3,\sqrt2)$ car $j=-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2}$.
  • Poirot
    Poirot
    (tu)
  • flar-tsi
    flar-tsi
    Merci à toi Poirot :)
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