Lien topologie étale et anneaux Henséliens

Bonjour,

La fibre du faisceau structural en un point du topos étale est plutôt le hensélisé strict de l'anneau local, son corps résiduel est la clôture séparable du corps résiduel de l'anneau local.

La topologie étale est ce qu'il faut pour avoir un théorème des fonctions implicites en géométrie algébrique. Si tu regardes les propriétés des anneaux locaux henséliens, tu y trouves justement une version algébrique du théorème des fonctions implicites : si un polynôme à coefficients dans l'anneau local a une racine simple dans le corps résiduel, alors cette racine se relève en une racine dans l'anneau local.

Première question : dans un certain sens, oui, mais c'est localement pour la topologie étale, bien sûr (on n'est pas avec ces espaces topologiques). Pour la version étale-réelle, où l'on récupère des espaces topologiques, un morphisme étale donne bien un homéomorphisme local.

Pour le deuxième point : pense à la situation analogue avec une équation polynomiale à coefficients dans l'anneau des germes de fonctions différentiables au point $O$ qui a une racine simple dans le corps résiduel en $O$.

Je ne voulais pas trop entrer dans les détails. Mais pour compléter sur la différence entre henselisé et henselisé strict, je crois me rappeler que les points du topos étale sont les points géométriques et c'est pour ça que la fibre en un tel point va être le henselisé strict.
Si on prend juste la limite sur les morphismes étales $(U,\tilde{x}) \to (X,x)$ avec $k(\tilde{x}) = k(x)$ on obtient exactement le henselisé. C'est comme ça qu'on a $O_{X,x} \to O_{X,x}^h \to O_{X,x}^{hs}$ correspondant aux topologies de Zariski, Nisnevich et étale.

Salut GBZM,

Merci, je n'ai pas encore réfléchi a ton message. Mais une question naïve (?) m'est venue ce matin.

Disons que je regarde le gros topos de Zariski de $\text{Spec}(\Z)$, donc la catégorie des foncteurs covariants $\text{Ring} \to \text{Ens}$ avec les conditions de recollement (que j'explicite pas). J'ai lu (sans trop comprendre) que ça classifie les anneaux locaux. Est-ce que ceci à un lien avec le fait que l'anneau générique i.e $\mathbf{A}^1 : \text{Ring} \to \text{Ring}$ (le foncteur identité) est un " anneau local " au sens où pour tout anneau $R$ et tout $r \in R$, il existe une famille couvrante ($(r,1-r)$) de $R$ tel que $r$ est inversible dans $R[r^{-1}]$ et $1-r$ inversible dans $R[(1-r)^{-1}]$. (ahah).

Du coup, ma question : est-ce que si je prend le gros topos étale de $\text{Spec}(\Z)$, la topologie force $\mathbf{A}^1$ a être un " anneau hensélien strict " ?

Déjà, je pense que le " corps résiduel " de $\mathbf{A}^1$ c'est $R \mapsto R / \text{Nil}(R)$ donc le quotient par les nilpotents. Pourquoi les nilpotents ? Juste par ce que le " complémentaire " (la négation) des inversibles c'est les nilpotents.

Merci, je vais réfléchir un peu. Je voulais parler du corps résiduel de $\mathbf{A}^1$ pour pouvoir interpréter la définition d'anneau strict hensélien.

Mais deux petits exemples d'anneaux pour la route.

Donc je garde le site $(\mathcal{S},\tau)$ de anneau de présentation fini munie de la topologie de Zariski.

1. On va noter $ \mathbf{B} := \left( R\mapsto R[\varepsilon] \right)$ avec $\varepsilon^2=0$, c'est bien un faisceau d'anneaux.

Là j'ai envie de dire que $\mathbf{B}$ est un anneau local.

Soit $R$ un anneau et $z := a+\varepsilon b \in R[\varepsilon]$. Alors $z$ est inversible sur $R[a^{-1}][\varepsilon]$ et $z-1$ est inversible sur $R[(1-a)^{-1}][\varepsilon]$.

Le petit lemme c'est que $z$ est inversible dans $R[\varepsilon]$ si et seulement si $a$ est inversible dans $R$.

2. Maintenant, $ \mathbf{C} := \left( R\mapsto R[ i] \right)$ avec $i^2=-1$. Là je pense que ce n'est pas un anneau local.


3. Je retourne sur l'exemple 1. Si j'ai compris l'histoire "d'anneau local générique" je dois trouver un morphisme géométrique $ \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ avec $\mathcal{E}$ le topos des faisceaux sur le site $(\mathcal{S},\tau)$ tel que $\mathbf{B}$ est l'image réciproque de $\mathbf{A}^1$.

Donc je dois trouver des foncteurs adjoints $ f^\star : \mathcal{E}_a \to \mathcal{E}_d$ et $f_\star :\mathcal{E}_d \to \mathcal{E}_a$. (j'ai mis des indices $a$ et $d$ pour départ et arrivé histoire de pas se perdre).

Pour $f^\star$ et bien je pense que le seul candidat est : $\mathfrak{X}\to \left( R\to \mathfrak{X}(R[\varepsilon]) \right)$ (si $\mathfrak{X}$ est un faisceau, on obtient bien un faisceau) par contre pour $f_\star$ je n'ai pas d'idée mais il doit se passer quelque chose puisque les constructions $1$ et $2$ se resemble fortement ! Je dois analyser un peu plus la situation mais si tu as une idée pour $f_\star$ (modulo le fait que j'ai bien compris cette histoire de générique).

Pardon Zariski on s'éloigne par ma faute de étale / Hensélien.