À propos des seuls groupes d'ordre n
Bonjour
S'il vous plaît, est-ce que quelqu'un peut m'expliquer qu'est-ce qu'un groupe doit vérifier pour prouver qu'il est le seul groupe d'ordre n.
L'exercice sur le quel je bug c'est celui-ci. en gros il demande de prouver que S3 et C6 sont les seuls groupes d'ordre 6. Je tiens à préciser qu'on n'a pas du tout vu en cours les théorèmes de Sylow, ni le théorème de Cauchy, ni même parlé de ce que veut dire la notion du seul groupe d'ordre n.
Cordialement.
S'il vous plaît, est-ce que quelqu'un peut m'expliquer qu'est-ce qu'un groupe doit vérifier pour prouver qu'il est le seul groupe d'ordre n.
L'exercice sur le quel je bug c'est celui-ci. en gros il demande de prouver que S3 et C6 sont les seuls groupes d'ordre 6. Je tiens à préciser qu'on n'a pas du tout vu en cours les théorèmes de Sylow, ni le théorème de Cauchy, ni même parlé de ce que veut dire la notion du seul groupe d'ordre n.
Cordialement.
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Réponses
Prends $a$ d’ordre 4. $G$ est donc constitué de $a$, $a^2$, $a^3$ et $a^4=1$. Il reste deux éléments disponibles, appelons-les $b$ et $c$ et tu essaies d’écrire la table d’opération de $G$ avec ça.
-- Schnoebelen, Philippe
Bien sûr, ça dépend de $n$. Par exemple, si $p$ est premier, tout groupe d'ordre $p$ est isomorphe à $C_p$, ce qui veut dire qu'il y a un seul modèle, (il existe un seul groupe d'ordre $p$ à isomorphisme près) Essaye de le prouver.
Dans ton cas tu cherches les modèles de groupe d'ordre 6 et ton énoncé est tout à fait explicite. Fais ce qu'on te demande, et tu trouveras qu'un groupe d'ordre 6 est isomorphe à $\mathfrak S_3$ ou à $C_6$ qui ne sont pas isomorphes entre eux (pourquoi ?)
Je tiens à préciser que je viens de découvrir la matière "la théorie des groupes" il y a 3 jours. j'avais un problème au début conceptuellement avec cette notion de seul groupe (que j'ai encore un peu). Dans ma tête, il y avait cette question en boucle de que veut-on dire par seul ? vue qu'on faite je peux prendre n'importe quel ensemble de n éléments, le munir d'une opération *, et le forcer de vérifier les axiomes que doit avoir un groupe, et là j'ai un groupe d'ordre n. Mais d'après ce que monsieur Magnolia a dit, si je comprends bien, que tout les groupes dont le n=p (nombre premier) ils sont isomorphes à C[small]p[/small], ce qui éclaircit cette notion de seul. mais si "n" n'est pas premier que veut dire alors cette notion de seul ?
Cordialement.
Sauf erreur, si $n$ est divisible par le carré d'un entier strictement plus grand que $1$ alors il existe au moins deux groupes d'ordre $n$ qui ne sont pas isomorphes.
*: je suppose que $n$ est quelconque. Pour le cas $n$ premier cela caractérise le groupe considéré.
Merci.
Sais-tu démontrer qu'un groupe fini d'ordre $p$ premier est cyclique*?
*: C'est à dire composé des éléments: $1,g,g^2,...,g^{p-1}$ avec $g$ un élément de ce groupe et $1$ l'élément neutre de ce groupe.
NB: la notation $g^2$, par exemple, signifie $g.g$ où le point désigne l'opération du groupe.
$g^3=(g.g).g$ etc.
Cela dépend de ce que tu connais, mais en effet vu que ce groupe est d'ordre petit on peut procéder comme tu dis.
Connais-tu le théorème de Lagrange?
-- Schnoebelen, Philippe
Oui, c'est généralement la définition retenue ce qui correspond à ce que j'ai écrit plus haut.
Mais pourquoi si l'ordre d'un groupe est premier il est nécessairement cyclique? B-)-
À ce que je sais il permet la partition du groupe G en plusieurs sous-groupes H.
Tu es en train de parler de la notion de sous-groupe distingué?
-- Schnoebelen, Philippe
L'ordre d'un sous-groupe est toujours un diviseur de l'ordre du groupe.
(Merci énormément pour tes questions ça m'aide vachement à mieux comprendre!!!)
Il y a un peu de travail à fournir tout de même. Dommage que tu n'aies pas daigné te pencher sur une question plus élémentaire: pourquoi un groupe d'ordre $p$ premier est cyclique?
Je ne voulais pas te créer d'obligation mais peut-être te rendre service.
Cordialement.
Vraiment merci énormément !
Il fallait aussi que je précise dès le début que que a est différent de l'élément neutre "e".
Merci pour ton retour !
Cela doit figurer dans la démonstration.
Cordialement.
Une fois qu'on a mis de côté le groupe cyclique d'ordre $6$ et qu'on utilise le théorème de Lagrange il y a des questions naturelles qui se posent.
Est-ce que, par exemple, les éléments d'un tel groupe peuvent être tous d'ordre $2$ (si on met de côté l'élément neutre)?
La question vient naturellement en lisant attentivement l'énoncé.
merci!!
et merci énormément Fin de partie pour tes échanges!!
Supposons que le groupe soit composé que d'éléments d'ordre $2$.
Soient $a$, $b$ deux éléments distincts d'ordre $2$ (aucun n'est donc l'élément neutre).
Est-ce que l'élément $a.b$ peut être d'ordre $2$?
Par contre, est-ce qu'on ne peut avoir que des éléments d'ordre $3$ (si on omet l'élément neutre)?
1) Est-ce que tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre peuvent être d'ordre $3$?
2) Est-ce que tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre peuvent être d'ordre $2$?
3) En déduire le nombre a priori possible de sous-groupes d'ordre $3$.
4) En déduire qu'il n'existe qu'un seul sous-groupe d'ordre $3$
Après on fait comme l'énoncé dit:
<<Ecrire la table résultante et chercher un isomorphisme>>
D'ailleurs, au vu de ce qu'on veut démontrer au final il me semble que c'est une hypothèse qu'on peut oublier immédiatement.
$\mathfrak{S}_3$ a trois éléments d'ordre $2$ mais, sauf erreur, ils ne commutent pas deux à deux.
Si on fait l'hypothèse que tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre sont d'ordre $2$ on a:
si $g_1,g_2,g_3,g_4,g_5$ sont tous ces éléments d'ordre $2$ chacun engendre un sous-groupe d'ordre $2$ et quand on prend deux de ces sous-groupes distincts ils n'ont que l'élément neutre en commun.
Si on considère, par exemple, l'élément $g_1.g_2$ avec l'hypothèse faite au départ* cet élément est d'ordre $2$ donc il doit.....
*: tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre sont d'ordre $2$
Il est plus facile de montrer que
1) le groupe ne peut pas avoir que des éléments d'ordre $3$
2) le groupe ne peut avoir qu'au plus un seul sous-groupe d'ordre $3$ (il est facile de voir que le groupe ne peut avoir au plus que deux sous-groupes d'ordre $3$ et il reste à éliminer le cas où il y aurait deux sous-groupes d'ordre $3$)
3) A cette étape on sait qu'il y a au moins un élément d'ordre $2$. Est-ce qu'il peut y en avoir deux? Trois? Quatre? Cinq? (Il faut arriver à éliminer des cas pour arriver à ce qu'on veut: trois éléments d'ordre $2$, c'est la situation du groupe $\mathfrak{S}_3$)
On peut utiliser le fait que l'ordre d'un sous-groupe est forcément un diviseur de 6 :
si tous les éléments sont d'ordre deux (à part le neutre) alors le groupe est abélien et par suite si $a,b$ sont distincts et d'ordre deux, $<a,b>=\{1,a,b,ab\}$ est d'ordre 4 ce qui est impossible.
C'est le raisonnement déjà esquissé par Poirot plus haut.
Cela demande une démonstration. B-)-