À propos des seuls groupes d'ordre n

Bonjour

Bien sûr, ça dépend de $n$. Par exemple, si $p$ est premier, tout groupe d'ordre $p$ est isomorphe à $C_p$, ce qui veut dire qu'il y a un seul modèle, (il existe un seul groupe d'ordre $p$ à isomorphisme près) Essaye de le prouver.
Dans ton cas tu cherches les modèles de groupe d'ordre 6 et ton énoncé est tout à fait explicite. Fais ce qu'on te demande, et tu trouveras qu'un groupe d'ordre 6 est isomorphe à $\mathfrak S_3$ ou à $C_6$ qui ne sont pas isomorphes entre eux (pourquoi ?)

AzardQ:

Cela dépend de ce que tu connais, mais en effet vu que ce groupe est d'ordre petit on peut procéder comme tu dis.

Connais-tu le théorème de Lagrange?

AzardQ:

Oui, c'est généralement la définition retenue ce qui correspond à ce que j'ai écrit plus haut.

Mais pourquoi si l'ordre d'un groupe est premier il est nécessairement cyclique? B-)-

Désolé, je n'ai rien compris à ton propos.
Tu es en train de parler de la notion de sous-groupe distingué?

Connais tu le théorème de Lagrange? La connaissance de ce théorème est implicite dans l'énoncé de ton exercice à mon humble avis.

Je pense que tu es mûr pour faire l'exercice demandé mais suis bien l'énoncé (ce qui suppose de l'avoir lu attentivement).

Les groupes considérés (a priori il y en a plusieurs) sont d'ordre $6$.

Une fois qu'on a mis de côté le groupe cyclique d'ordre $6$ et qu'on utilise le théorème de Lagrange il y a des questions naturelles qui se posent.

Est-ce que, par exemple, les éléments d'un tel groupe peuvent être tous d'ordre $2$ (si on met de côté l'élément neutre)?

La question vient naturellement en lisant attentivement l'énoncé.

Si tu prends un élément d'ordre $2$ et que tu lui adjoins l'élément neutre qu'obtiens-tu?

Cela forme un sous-groupe du groupe considéré.

Supposons que le groupe soit composé que d'éléments d'ordre $2$.
Soient $a$, $b$ deux éléments distincts d'ordre $2$ (aucun n'est donc l'élément neutre).
Est-ce que l'élément $a.b$ peut être d'ordre $2$?

Un plan d'attaque de ce problème.

1) Est-ce que tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre peuvent être d'ordre $3$?
2) Est-ce que tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre peuvent être d'ordre $2$?
3) En déduire le nombre a priori possible de sous-groupes d'ordre $3$.
4) En déduire qu'il n'existe qu'un seul sous-groupe d'ordre $3$


Après on fait comme l'énoncé dit:
<<Ecrire la table résultante et chercher un isomorphisme>>

A priori rien ne nous permet de dire que le groupe cherché possède deux éléments (d'ordre $2$) qui commutent.

D'ailleurs, au vu de ce qu'on veut démontrer au final il me semble que c'est une hypothèse qu'on peut oublier immédiatement.
$\mathfrak{S}_3$ a trois éléments d'ordre $2$ mais, sauf erreur, ils ne commutent pas deux à deux.

Si on fait l'hypothèse que tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre sont d'ordre $2$ on a:
si $g_1,g_2,g_3,g_4,g_5$ sont tous ces éléments d'ordre $2$ chacun engendre un sous-groupe d'ordre $2$ et quand on prend deux de ces sous-groupes distincts ils n'ont que l'élément neutre en commun.

Si on considère, par exemple, l'élément $g_1.g_2$ avec l'hypothèse faite au départ* cet élément est d'ordre $2$ donc il doit.....

*: tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre sont d'ordre $2$

Tu peux montrer que si tous les éléments non triviaux d'un groupe sont d'ordre $2$ alors ce groupe est commutatif.

FdP a écrit:

Il est beaucoup moins aisé que je ne le pensais d'éliminer le cas où tous les éléments qui ne sont pas l'élément neutre sont d'ordre $2$

On peut utiliser le fait que l'ordre d'un sous-groupe est forcément un diviseur de 6 :

si tous les éléments sont d'ordre deux (à part le neutre) alors le groupe est abélien et par suite si $a,b$ sont distincts et d'ordre deux, $<a,b>=\{1,a,b,ab\}$ est d'ordre 4 ce qui est impossible.

C'est trivial, mais vu que AzarQ débute en théorie des groupes il faut lui laisser quelque chose à se mettre sous la dent s'il repasse par ici... B-)-