Bonsoir
Montrer par récurrence sur la dimension de $E$ que si $u \in \mathcal L(E)$ est annulé par un polynôme scindé, alors il est trigonalisable.
Je ne comprends pas pourquoi $P(u_H)=0$.
Pour info, cet argument (de ton livre) est assez maladroit. Si $a$ n'est pas racine de $Q$ et $n>0$, alors il existe des polynômes $U,V$ tels que :
$$ (X-a)^n U + QV = 1$$
(C'est une application célèbre de Bezout à l'algèbre linéaire, et ça mélange les chapitres, donc plutôt une bonne chose pour te retirer les doigts du nez (ou le nez du guidon))
Ce qu'il va se produire, c'est donc que, pour $f$ endomorphisme annulé par $(X-a)^nQ$ :
1/ tu vas avoir une somme directe de ton espace de départ $E = A\oplus B$.
2/ tous les deux sont stables par $f$
3/ Sur $A$, ta $f$ est un une homothétie + une nilpotente
4/ Sur $B$ elle est annulée par $Q$
La dimension a baissé quand tu passes de $E$ à $B$, tu peux recommencer avec $B$. La dimension baisse à chaque fois, donc ça s'arrête.
A la fin, tu as l'existence d'un entier $p$ et d'espaces en somme 2 à 2 directe
$$ E = A\oplus F_1 \oplus F_2\oplus \dots \oplus F_p$$
TOUS stables par $f$ et sur chacun d'entre eux, ta $f$ est une "bête homothétie" + une nilpotente
5/ Et je pense que ce serait bien que tu fasses l'exercice séparé de trouver une base trigonale stricte (enfin de prouver son existence) pour chaque nilpotente. (Je veux dire une base où la nilpotente qui t'est imposée a une matrice trigonale supérieure stricte).
Ce que fait ton exo, c'est qu'il néglige un peu $B$ disons. Ce choix n'est pas forcément très réfléchi.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
C'est compris.
$$ (X-a)^n U + QV = 1$$
(C'est une application célèbre de Bezout à l'algèbre linéaire, et ça mélange les chapitres, donc plutôt une bonne chose pour te retirer les doigts du nez (ou le nez du guidon))
Ce qu'il va se produire, c'est donc que, pour $f$ endomorphisme annulé par $(X-a)^nQ$ :
1/ tu vas avoir une somme directe de ton espace de départ $E = A\oplus B$.
2/ tous les deux sont stables par $f$
3/ Sur $A$, ta $f$ est un une homothétie + une nilpotente
4/ Sur $B$ elle est annulée par $Q$
La dimension a baissé quand tu passes de $E$ à $B$, tu peux recommencer avec $B$. La dimension baisse à chaque fois, donc ça s'arrête.
A la fin, tu as l'existence d'un entier $p$ et d'espaces en somme 2 à 2 directe
$$ E = A\oplus F_1 \oplus F_2\oplus \dots \oplus F_p$$
TOUS stables par $f$ et sur chacun d'entre eux, ta $f$ est une "bête homothétie" + une nilpotente
5/ Et je pense que ce serait bien que tu fasses l'exercice séparé de trouver une base trigonale stricte (enfin de prouver son existence) pour chaque nilpotente. (Je veux dire une base où la nilpotente qui t'est imposée a une matrice trigonale supérieure stricte).
Ce que fait ton exo, c'est qu'il néglige un peu $B$ disons. Ce choix n'est pas forcément très réfléchi.