Forme quadratique : Gauss vs diagonalisation

elodouwen · April 2021

Bonjour
Ca me frappe de voir à quel point j'ai autant oublié.
Je suis sur les formes quadratiques.
Ma question est de savoir comment trouver toutes les façons de réduire une forme quadratique.
Je prends comme exemple cette matrice $K$ :

-2 -2   1
-2  1  -2
 1 -2  -2

Avec Gauss j'obtiens :
méthode {{Gauss}} résultat simplifié
$- 2 x^2 + y^2 - 2 z^2 - 4 xy + 2 xz - 4 yz = - 2 \left( x + y -
\frac{1}{2} z \right)^2 + 3 (y - z)^2 - 4, 5 z^2$
et en mettant des coefficients orthonormés :
$- 2 x^2 + y^2 - 2 z^2 - 4 xy + 2 xz - 4 yz = - \frac{9}{2} \left(
\frac{2}{3} x + \frac{2}{3} y - \frac{1}{3} z \right)^2 + 6 \left(
\frac{\sqrt{2}}{2} y - \frac{\sqrt{2}}{2} z \right)^2 - 4, 5 z^2$.

Je remarque que la somme des coefficients est égale à la trace (mais pas le produit au déterminant).
Avec la diagonalisation j'obtiens ceci :
file.php?3,file=120568

Là, j'ai, et je comprends bien pourquoi, la somme des coeff égale à la trace de $K$ et leur produit au déterminant de $K$.
Ma question est alors de savoir ceci : j'ai trouvé deux réductions de ma forme quadratique, par deux méthodes différentes. Mais y en a-t-il d'autres ? J'aimerais comprendre à quoi ressemble l'ensemble de toutes les réductions possibles de cette forme quadratique-là. 120568

Dom · April 2021

Ok une aide devrait arriver ;-)

À savoir :
Pour un changement de base d’une FQ avec Gauss, c’est uniquement de la forme $^tPKP=D$.
Et donc, $\det(D)= \boxed{?} \det(K)$ ?

Au passage, cela correspond par exemple à du $X=ax+b$ (changement affine) et donc selon le $a$ ça peut « agrandir ou rétrécir ».

Peux-tu trouver ce $\boxed{?}$ ?

elodouwen · April 2021

Ah oui tout simplement.
D'après ce que tu écris le ? serait le carré de $\det P$ si je comprend bien.
Ça me rappelle des souvenirs de prépa, mais comme c'était dans une autre vie je ne me souviens plus du terme. Il y avait un mot pour désigner deux matrices comme $D$ et $K$, ce n'était pas "semblables" bien sûr, ni "équivalentes" mais un autre mot que j'ai oublié.
Donc ma question (*) reviendrait à trouver toutes les matrices $P$ inversibles telles que ${}^t P K P$ soit diagonal.
Y a-t-il de la théorie à ce sujet ?
Par exemple si je cherche toutes les matrices $P$ inversibles telles que $P^{-1} K P$ soit diagonale, je comprend bien ce que les $P$ doivent être : des matrices dont les colonnes soient vecteurs propres pour $K$ si ceux-ci existent avec la théorie de la diagonalisation derrière. Je comprend aussi que si $K$ est symétrique seules (si je ne me trompe pas) $n!$ de ces matrices sont orthogonales. Cela correspond ici à la copie d'écran de mon premier message.
Mais pour (*) comment trouver toutes les matrices $P$ ?