Matrice de rang 1
dans Algèbre
Pourquoi toute matrice de rang 1 est-elle semblable à
0 0 0 a[sub]1[/sub] 0 0 0 a[sub]2[/sub] 0 0 0 a[sub]3[/sub] ... 0 0 0 a[sub]n[/sub]
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Réponses
Je lis sur Wiki que le rang d’une matrice carrée est le nombre de vecteurs colonnes indépendants.
Donc on en a un seul. Les autres ne sont pas indépendants. Donc on peut par combinaison linéaire (parmi les vecteurs) annuler le premier vecteur colonne. Et de même pour tous les autres vecteurs non indépendants.
Toutes ces opérations aboutissent à la matrice avec des vecteurs nuls sauf le dernier.
Ces opérations sont équivalentes à une multiplication matricielle.
Donc elles sont semblables.
Il reste à vérifier et à rédiger mathématiquement.
Voici une autre façon de voir les choses. Notons $K$ le corps de base, $A$ la matrice considérée, de type $(n,n)$, et $u_A$ l'endomorphisme de $K^n$ défini par $u_A(X) = AX$ pour tout $X$ dans $K^n$. Il est bien connu que le rang de $u_A$ est celui de $A$, soit ici 1. Le théorème du rang nous donne alors la dimension de $\ker(u_A)$. Dans une base de $K^n$ adaptée à $\ker(u_A)$, la matrice de $u_A$ a la forme souhaitée.
Note : une base de $K^n$ adaptée à $\ker(u_A)$ est une base de $K^n$ dont les $k$ premiers vecteurs forment une base de $\ker(u_A)$, où $k$ est la dimension de $\ker(u_A)$.
Deuxième version : on peut imposer $a_{n-1}a_n=0$ et, de toute façon, $a_n$ est égal à la trace.
Soit $K$ un corps commutatif $n\in \N$, $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur $K$ et $f:E\to E$ un endomorphisme de rang $1$. Soit $v$ un élément non nul de l'image de $f$.
- Si $f(v)\neq 0$, alors $\ker(f)$ est un supplémentaire de $Kv$. Prenons une base $(e_1,\ldots,e_{n-1})$ de $\ker(f)$ et posons $e_n=v$. Quelle est la matrice de $f$ dans la base $(e_1,\ldots,e_n)$ ?
- Si $f(v)=0$, soit $w\in E$ tel que $f(w)=v$. Alors $\ker(f)$ est un supplémentaire de $Kw$ dans $E$ contenant $v$. Prenons $e_1,\ldots,e_{n-2}\in \ker(f)$ tels qu'en posant $e_{n-1}:=v$, $(e_1,\ldots,e_{n-1})$ soit une base de $\ker(f)$ (c'est juste le théorème de la base incomplète en dimension finie). Posons $e_n:=w$. Quelle est la matrice de $f$ dans la base $(e_1,\ldots,e_n)$ ?
Je n'ai pas l'impression qu'on puisse faire l'économie d'une distinction de cas (les deux situations étant quand même très différentes avec d'un côté un endomorphisme diagonalisable et de l'autre un nilpotent).