Matrices semblables (exercice)

Partie 1

1) $A=0$

2a)
$\exists P, A =P^{-1} \lambda A P$
Soit $X$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\alpha$
$AX= \alpha X \implies\dfrac{\alpha}{\lambda} PX = APX$

2b) On a $\forall n, \alpha \lambda^n$ est valeur propre de $A$, mais $A$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes, donc $\{\alpha \lambda^{-j} , j \leq 0 \}$ est de cardinal au plus $n$,
donc $\exists k , \alpha \lambda^{n-k}= \alpha \lambda^k$

2c)

3a)

3b)


Partie 2

4) $G^{\perp}$ est non vide car $0 \in G^{\perp}$ et est stable par combinaison linéaire , grâce à la linéarité de $\phi$ en le deuxième argument.

5 a)

5b)

6a)

6 b)

Partie 3

7)

8)

9)


10a)

10b)

$
\begin{align*}
e^{t I_n}&= \sum_{k=0} ^{\infty} \dfrac{I^k t^k}{k!} \\
&= \sum_{k=0} ^{\infty} \dfrac{I t^k}{k!} \\
&= I_n \sum_{k=0} ^{\infty} \dfrac{I t^k}{k!} \\
&= I_n e^t \\
\end{align*}
$
On reconnaît le développement en série entière de la focntion complexe $ z \mapsto e^z$

10c) $\exists P \in \mathbb{GL}_n,$ et $ D$ diagonale tels que $\Delta =P^{-1} D P $ et $ e^{\Delta}= P^{-1} e^{D} P$

10d)

10d)

11a)

11b)

Merci, j'ai rectifié. Pour le 2b), ce que j'ai écrit est bancal. Comment est-ce qu'il faudrait s'y prendre ?