Théorème de Burnside
Bonsoir,
J'ai réussi les questions 6 et 7. Je bloque sur la question 8.
J'aimerais écrire la matrice d'un élément de $\rho(a)$ dans la base adaptée donnée par l'énoncé. Mais je n'y arrive pas.
Mais je n'arrive pas à comprendre ce qu'est l'application $\rho(f)$. Les $v_1, \cdots, v_n$ vivent dans quel ensemble ?
Je dois calculer $\rho=\rho(a)(E_1)$ etc $\rho(a)(E_n)$ ?
J'ai réussi les questions 6 et 7. Je bloque sur la question 8.
J'aimerais écrire la matrice d'un élément de $\rho(a)$ dans la base adaptée donnée par l'énoncé. Mais je n'y arrive pas.
Mais je n'arrive pas à comprendre ce qu'est l'application $\rho(f)$. Les $v_1, \cdots, v_n$ vivent dans quel ensemble ?
Je dois calculer $\rho=\rho(a)(E_1)$ etc $\rho(a)(E_n)$ ?
Réponses
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Ben comme d'habitude tout est écrit, tu ne fais juste pas l'effort de lire. On te dit dans l'énoncé que $\rho(f)$ est un endomorphisme de $E^n$. Alors, où vivent $v_1, \dots, v_n$ ?
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@OS : clairement\[\rho:\left\{\begin{array}{rcl}L(E)&\longrightarrow&L\left(E^n\right)\\f&\longmapsto&\rho(f):\left\{\begin{array}{ccc}E^n&\longrightarrow&E^n\\(v_1,\,\cdots,\,v_n)&\longmapsto&(f(v_1),\,\cdots,\,f(v_n))\\\end{array}\right.\\\end{array}\right.\]Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Poirot c'est la première fois de ma vie que je vois un endomorphisme de $E^n$. Ca me perturbe.
Thierry Poma merci tu as répondu à ma question, du coup $v_i$ est un élément de $E$.
Je veux calculer déterminer la matrice de $\rho(a)$ mais je ne comprends pas ce que signifie que la base $(e_1, \cdots, e_n)$ de $E$ détermine une base de chaque $E_i$.
Quelle est la base de $E_1$ ici ? -
Chercher tout seul plus de 10 minutes n'est pas une mauvaise chose.
Pour quelqu'un qui dit ne pas s'intéresser à l'agrégation interne, c'est quand même surprenant. Abonnez-vous à la RMS! -
Id Est le sujet m'a l'air très intéressant et très riche : il aborde beaucoup de notions importantes comme les sous-algèbres, les groupes, la réduction, les permutations, les ensembles quotients. Je m'intéresse aussi aux sujets de Mines, Centrale…
J'ai réfléchi plus de 40 min dessus. Ca fait plusieurs jours que j'essaie de comprendre ces notations.
Je n'ai jamais étudié ça. Comment on passe d'une base de $E$ à une base de $E^n$ ? Si $(e_1, \cdots, e_n)$ est une base de $E$, comment trouver une base de $E_i$ ? -
Ben réfléchis cinq secondes. Comment décrire les éléments de $E^n$ ? Il y a ensuite une base évidente en partant de $(e_1, \dots, e_n)$.
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Un élément de $E^n$ s'écrit sous la forme $(v_1, \cdots, v_n)$ avec $\forall i \in [|1,n|] \ \ v_i \in E$.
Une base de $E^n$ est :
$\boxed{\mathcal B= \left( (e_1,0, \cdots, 0), \cdots, (e_n,0, \cdots, 0) , (0,e_1,0 \cdots, 0), \cdots, (0,e_n,0 \cdots, 0), \cdots , (0, \cdots, 0,e_1), \cdots, (0, \cdots, 0,e_n) \right)}$ -
Tout à fait. :-)
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Je veux écrire la matrice de $\rho(a)$ par blocs dans la base adaptée.
On a $\rho(a)(e_1,0, \cdots, 0)=(f(e_1),0, \cdots, 0)$ etc $\rho(a)(e_n,0, \cdots, 0)=(f(e_n),0, \cdots, 0)$
$\rho(a)(0,e_1, \cdots, 0)=(0,f(e_1), \cdots, 0)$ etc $\rho(a)(0,e_n, \cdots, 0)=(0,f(e_n),0, \cdots, 0)$
Mais comment écrire la matrice ? -
Il n'y a pas besoin d'imagination, écris les $f(e_i)$ dans la base des $e_j$.
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Je ne vois pas comment faire, on ne connait pas $f$ :-S
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Introduis la matrice de $f$ dans la base $(e_1, \dots, e_n)$ et décris la matrice de $\rho(f)$ dans la base de $E^n$ dont on a parlé au-dessus.
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Je n'arrive pas à comprendre comment écrire la matrice de $\rho(f)$.
Je n'arrive pas à faire le lien avec la matrice de $f$ dans la base $(e_1, \cdots, e_n)$. -
Sauf si tu t'es trompé, (je n'ai pas regardé), le lien que tu cherches est écrit dans ce message.
Avec l'aide fournie par Poirot ici et là, il ne reste plus qu'à écrire les choses en appliquant ce que tu sais sur l'expression d'une matrice dans une base. -
Peut-on rappeler de quelle épreuve il s'agit ? merci.
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Michael je suis bloqué dessus depuis 4-5 jours. Je n'ai jamais manipulé des matrices dans $\mathcal L(E^n)$.
Je ne vois pas comment écrire $\rho(f)(e_1, \cdots, e_n)=(f(e_1), 0, \cdots, 0)$ dans la base de $E^n$ que j'ai explicitée.
Chaurien Agrégation interne 2021 maths 1. -
Pense en termes de matrices je t'ai dit, ce sera plus rapide. Sinon tu écris $f(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{i,j} e_i$.
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Merci O'Shine.
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Merci Poirot j'ai enfin compris :-D Il aura fallu 4 jours.
Je vais maintenant pouvoir réfléchir aux questions. -
Ce n'est pas une base de $E^n$ qu'il faut considérer, mais celle dont tu parlais dans ce message.
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Oui Poirot j'ai pris la base que j'ai exhibée.
Question 8.a :
Si je note $M=(M_{ij})$ la matrice par blocs avec $(i,j) \in [|1,n|]^2$ d'un élément de $\mathcal L(E^n)$ alors je trouve que $\forall (i,j) \in [|1,n|]^2 \ \ A M_{ij}=M_{ij} A$
D'après la question $6$, les $M_{ij}$ sont des homothéties pour tout $ (i,j) \in [|1,n|]^2$.
Question 8.b :
On a $\mathcal C=\{ g \in \mathcal L(E^n) \ \ g \circ \rho(a)= \rho(a) \circ g \}$
D'après la question précédente, un élément $g$ de $\mathcal C$ est une homothétie, et comme la matrice de $\rho(f)$ dans la base adaptée est diagonale par blocs, $\rho(f)$ va commuter avec tout élément de $\mathcal C$.
Je bloque à la question 9.a :-S -
C'est au mieux très mal rédigé, au pire faux, ce que tu écris. C'est quoi la "matrice par blocs d'un élément de $\mathcal L(E^n)$" ?
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L'énoncé dit qu'un élément de $L(E^n)$ est représenté par une matrice de taille $n^2$ avec des blocs de taille $n$.
J'ai posé $M=\begin{pmatrix}
M_{11} & \cdots & M_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
M_{n1} & \cdots & M_{nn}
\end{pmatrix}$
Avec les $M_{ij}$ des éléments de $\mathcal M_{n}(\K)$.
Et $Mat_B( \rho(a))=\begin{pmatrix}
A & \cdots & O_n\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
O_n & \cdots & A
\end{pmatrix}$
Avec $A \in \mathcal M_n(\K)$. -
D'accord, donc 8)a) est correcte. Par contre tu n'obtiens pas du tout que $g \in \mathcal C$ est une homothétie.
-
Oui j'ai écrit une bêtise. Soit $g \in \mathcal C$.
J'obtient qu'il existe des scalaires $(\lambda_{ij})$ tels que :
$Mat_{B}(g)=\begin{pmatrix}
\lambda_{11} I_n & \cdots & \lambda_{1n} I_n \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_{n1} I_n & \cdots & \lambda_{nn} I_n
\end{pmatrix}$
Question 8.b :
Montrons que $\rho(f)$ commute avec $g$. On a :
$Mat_B(\rho(f))=\begin{pmatrix}
M_{f} & \cdots & O_{n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
O_{n} & \cdots & M_{f}
\end{pmatrix}$
Donc $\boxed{Mat_B(\rho(f)) \times Mat_{B}(g)= Mat_{B}(g) \times Mat_B(\rho(f)) = \begin{pmatrix}
\lambda_{11} M_f & \cdots & \lambda_{1n} M_f \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_{n1} M_f & \cdots & \lambda_{nn} M_f
\end{pmatrix}}$
Donc $\rho(f)$ commute avec tous les éléments de $\mathcal C$. -
Je ne trouve pas la question 9.a.
-
Si $W \cap E_i \neq \{0\}$, tu prends un $x \in W \cap E_i \setminus \{0\}$ et tu montres que pour tout élément $y$ de $E_i$, il existe $a \in \mathcal A$ tel que $\rho(a)(x)=y$.
-
D'accord merci.
Si $W \cap E_i \ne \{0 \}$, il existe un élément non nul dans $W \cap E_i$. Notons-le $x$.
On a $x=(0, \cdots, x_i,0, \cdots, 0)$ avec $x_i \in E$. On cherche $a \in \mathcal A$ tel que $\rho(a)(x)=y$.
Soit $y \in E_i$. Or $\rho(a)(x)=(0, \cdots, a(x_i),0, \cdots, 0)=(0, \cdots, y_i,0, \cdots, 0)$
Il suffit de prendre $\boxed{y_i=a(x_i)}$.
Mais j'ai du mal à voir le lien avec la question :-S -
Tu n'as rien montré du tout, pourquoi est-ce qu'il existe $a \in \mathcal A$ tel que $a(x_i)=y_i$ ? Mais avant de faire ça, réfléchis à pourquoi il suffit de montrer ce que je t'ai dit de montrer pour obtenir que $W \cap E_i = E_i$.
-
Il faut montrer que l'application $a_{ | W \cap E_i} : x_i \mapsto a(x_i)$ est surjective.
Comme $ W \cap E_i$ est de dimension finie, comme intersection de sous-espaces vectoriels, elle est bijective car son noyau est égal à $0$. Si $a(x_i)=0$ alors $x_i=0$ car $a$ est un endomorphisme car $\mathcal A \subset \mathcal L(E)$.
Je n'ai pas trouvé pourquoi cela suffit à montrer que $W \cap E_i=E_i$. -
Tu ne te rends pas compte que tu écris n'importe quoi ? Tu cherches à trouver un $a$ qui vérifie certaines choses. Dans ton dernier message, tu nous parles d'un $a$ non défini, et tu dis qu'il est bijectif car injectif ???
Pour le fait que ça implique $W \cap E_i = E_i$, il faut, sans surprise, utiliser le fait que $W$ est stable par tous les $\rho(a)$... -
Je pense avoir enfin compris l'idée.
On veut montrer que $W \cap E_i = E_i$. Or, on sait que $W \cap E_i \subset E_i$ donc il suffit de montrer que $\boxed{E_i \subset W \cap E_i}$.
Comme $\rho(a) (W) \subset W$ alors si on montre que pour tout $y \in E_i$ il existe $a \in \mathcal A$ tel que $\rho(a)(x)=y$ alors on aura $y \in W \cap E_i$ par stabilité et donc $E_i \subset W \cap E_i$.
Montrons qu'il existe $a \in \mathcal A$ tel que $\rho(a)(x)=y$ et là je coince. -
Cette question me semble extrêmement difficile.
Poirot, voici une idée. Sans ton indication je ne vois pas comment on peut s'en sortir.
Soit $x_i \in E$ non nul pour tout $i \in [|1,n|]$.
Posons : $V=\{ a(x_i) \ | \ a \in \mathcal A \}$ pour $a \in \mathcal L(E)$.- $V$ est un sous-espace vectoriel par image de l'espace vectoriel $\mathcal A$ par l'application linéaire $a \in \mathcal A \mapsto a(x_i) \in E$
- $V$ est stable par tous les éléments de $\mathcal A$. Soit $u \in \mathcal A$ et $z \in V$. Par définition, il existe $v \in \mathcal A$ tel que $z(x_i)=v(x_i)$. $\mathcal A$ est une sous-algèbre de $\mathcal L(E)$ donc $u \circ v \in \mathcal A$. Donc $a(z)=a(v(x_i)) \in V$. Donc $V$ est stable par $E$.
- $V \ne \{0\}$. Par l'absurde si $V=\{0\}$ alors $a(x_i)=0$ pour tout $u \in \mathcal A$. Donc $Vect(x_i)$ est stable par tous les éléments de $\mathcal A$. L'irréductibilité de $\mathcal A$ permet d'affirmer que :
1er cas : si $Vect(x_i)=\{0\}$ alors c'est impossible car $x_i \ne 0$
2ème cas : $Vect(x_i)=E$. C'est absurde car $\dim(E) \geq 2$.
L'algèbre $\mathcal A$ étant irréductible, on en déduit que $V=E$ d'où l'existence d'un élément $a \in \mathcal A$ tel que $a(x_i)=y_i$
On a montré que $\boxed{\forall x \in E_i \ \ \backslash \{0\} \ \ \forall y \in E_i \ \ \exists a \in \mathcal A \ \ \rho(a)(x)=y}$ -
C'est l'idée, c'est très bien d'y avoir pensé. Le "pour tout $i$" ne sert à rien. Comme je te l'ai dit, travaille avec un $x$, inutile de l'appeler $x_i$.
-
J'ai mis 4 jours à la trouver. D'accord merci je réfléchis à la question 9.b je pense savoir la réponse mais il faut le démontrer, ça je n'ai pas encore réussi.
-
Question 9.b :
On a $W_2 \cap E_2 = \begin{cases} (W \oplus E_1) \cap E_2 \ \ \ \ \text{si} \ W \cap E_1 =\{0\} \\ W \cap E_2 \ \ \ \text{si} \ \ W \cap E_1=E_1 \end{cases}$
Je pense qu'il faut montrer que $W_2 \cap E_2 = W \cap E_2$
1er cas :
Si $W \cap E_1=E_1$ alors on a l'égalité.
2ème cas :
Si $W \cap E_1=\{0\}$ montrons la double inclusion $\boxed{(W \oplus E_1) \cap E_2 = W \cap E_2}$
Soit $x \in W \cap E_2$. Alors $x \in W$ et $x \in E_2$. On peut écrire $x=x_W +0$ et cette décomposition est unique donc $x \in W \oplus E_1$.
Finalement on a montré $\boxed{W \cap E_2 \subset (W \oplus E_1) \cap E_2}$
Réciproquement, soit $x \in (W \oplus E_1) \cap E_2 $. Alors $x \in E_2$ et $x=x_W + x_{E_1}$ et la décomposition est unique.
Je bloque pour montrer que $x \in W$.
Question $9.c$ :
J'ai avancé un peu mais il me reste des points bloquants.
On a clairement $W \subset W_2 \subset W_3 \subset \cdots \subset W^n$
Je trouve $\boxed{W_3 = \begin{cases} W_1 \oplus (E_1 \oplus E_2) \ \ \ \ \text{si} \ W \cap E_2 =\{0\} \\ W_2 \ \ \ \text{si} \ \ W \cap E_2=E_2\end{cases}}$
On clairement $\rho(a) (W_2) \subset W_3$ par stabilité de $W$ et des $E_i$.
Ensuite, $W_n = \begin{cases} W_1 \oplus (E_1 \oplus E_2 \oplus \cdots E_{n-1})) \ \ \ \ \text{si} \ W \cap E_{n-1} =\{0\} \\ W_{n-1} \ \ \ \text{si} \ \ W \cap E_{n-1}=E_{n-1}\end{cases}$
Je ne comprends pas pourquoi $W_n=E^n$ ni comment trouver un supplémentaire de $W$ dans $E^n$ :-S
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