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OShine
OShine
dans Algèbre
Bonsoir,

En fait je n'ai pas compris comment on montre que $P(A)=0$.

Je ne comprends pas pourquoi on a besoin de $(E_0,\,\cdots,\,E_{p-1})$ est une base de $\mathcal M_{n,1}(\K)$ pour montrer que $P(A)=0$ :-S

On peut pas en déduire directement $P(A) E_0 =0 \implies P(A)=0$ ?120750
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Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tu penses que si une matrice $M$ vérifie $M \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix} = 0$ alors $M=0$ ?
  • OShine
    OShine
    Non en effet, on trouve rapidement un contre-exemple. Je sais que dans un anneau intègre $ab=0 \implies a=0 \ \text{ou} \ b=0$, j'ai dû confondre.

    Je pense avoir compris, même si je ne suis pas sûr. La famille $(E_0, \cdots, E_{d-1})$ est une base de $\mathcal M_{d,1}$, elle est donc libre, alors comme $\displaystyle\sum_{k=0}^{d-1} P(A) E_k=0$ on a $P(A)=0$ par définition d'une famille libre.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Bonjour, développe $\det\left(A-xI_n\right)$ et tu obtiendras $\pi_A=P$. Quant à $\pi_A(A)=0_n$ nous l'appelons le théorème de Cayley-Hamilton.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • poli
    poli
    Non OShine. P(A) n'est pas un élément de $\K$, c'est-à-dire ce n'est pas un $\lambda_i$ comme tu voudrais l'utiliser.
    Si les deux premiers coefficients de la première ligne de P(A) étaient 1 et-1, et que tous ses autres étaient des 0, ta somme vaudrait 0 et P(A) ne serait pas la matrice nulle.
  • OShine
    OShine
    Poli d'accord merci. Mais il n'y a pas que K qui est un anneau intégre non ?

    Il faut préciser que l'espace vectoriel des matrices n'est pas un anneau intégre ?

    AlainLyon je ne connais pas votre méthode. C'est un exercice préliminaire pour démontrer Cayley-Hamilton.
  • Poirot
    Poirot
    Non mais pourquoi parler d'anneau intègre ou je ne sais quoi ? Ce n'est pas un produit dans $\mathcal M_n(K)$ je te signale, c'est un calcul de la forme $AX$ avec $A$ matrice carrée et $X$ vecteur colonne. Bref c'est une évaluation d'une application linéaire en un vecteur... Ce n'est pas parce qu'une telle application s'annule en un élément d'une base que tu peux en déduire que cette application est nulle. Par contre si elle s'annule sur tout une base...
  • OShine
    OShine
    D'accord merci c'est plus clair. En effet, je n'avais rien compris.

    Si elle s'annule sur tout une base elle est nulle. En effet, si $x= \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_i e_i$ avec $(e_1, \cdots, e_n)$ une base de
    $E$ alors $u(x)= \displaystyle\sum_{k=1}^n \lambda_i f(e_i)=0$
  • poli
    poli
    Pas sûr que tu aies compris. J'ai l'impression que tu traites le $0$ de $P(A) E_k=0$ comme $0_{\K}$. Ça veut dire quoi pour la $k^e$ colonne de $P(A) $?
  • OShine
    OShine
    $P(A)E_k$ est une matrice colonne.

    Soit $f$ l'endomorphisme canoniquement associé à $P(A)$. On a $f(E_0)=f(E_1)= \cdots =f(E_{p-1})=0$ donc $f$ s'annule sur la base canonique $(E_0, \cdots, E_{d-1})$ de $\K^d$ qui est isomorphe à $\mathcal M_{d1}(\K)$ donc $f$ est nulle.
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