Tu peux écrire (par exemple) $z^2+4i=0 \Longleftrightarrow z^2=-4i$
Et vu que $-4i=2\times (-2i)$ et que $-2i=(1-i)^2$ tu obtiens:
$z^2+4i=0 \Longleftrightarrow z^2=2(1-i)^2$.
A toi de finir.
Dans le plan complexe, une addition est une translation, une multiplication par un réel est une homothétie, et une multiplication par un complexe est une rotation. Quand tu mets au carré, tu appliques 2 fois la même transformation. Pour l'homothétie répétée, il suffit de prendre la racine carrée pour retrouver le coefficient initial. Il reste la partie complexe. Quelle est la rotation, autour du centre d'affixe 0, du point d'affixe 1, qui, répétée, tombe sur -i ?
Réponse : il y en a 2 (au moins, on néglige "2*k*pi près"). Celle dans le sens directe, et celle dans le sens indirect.
Et on retrouve le résultat, a priori compliqué, mais finalement totalement logique.
$x=\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i$ ou $x=-\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}i$
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages
passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique
du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on
cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on
n'a pas besoin de recopier le message passé.
C'est ça, mais attention quand tu "prendre la racine carrée", ce n'est pas quelque chose que l'on peut faire sans plus de précaution dans $\mathbb C$. Mais effectivement, tu vois bien que $\sqrt 2(1-i)$ et $- \sqrt 2(1-i)$ sont des complexes qui, mis au carré, donnent $2(1-i)^2$ !
Si $z=r e^{i\theta}$, alors $z^2=(r e^{i\theta})^2=r^2e^{2i\theta}$. D'où le dessin ci-dessus.
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages
passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique
du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on
cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on
n'a pas besoin de recopier le message passé.
Par contre je n'ai pas compris quand vous dites ''Quelle est la rotation, autour du centre d'affixe 0, du point d'affixe 1, qui, répétée, tombe sur -i ?''.
En convenant que $\mathrm{sign}(x)=\begin{cases}1\text{ si }x\geq 0\\-1\text{ si }x<0\end{cases}$, on a, pour tous réels $a,b$,$$\left(\frac{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}+b}+\mathrm{sign}(a)\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-b}}2+i\frac{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}+b}-\mathrm{sign}(a)\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-b}}2\right)^2=a+ib.$$
A tout hasard, j'ai simplifié [cette formule] en gardant les mêmes notations.$$\left(\frac{\sqrt{2\sqrt{a^2+b^2}+2a}}2+i\text{ sign}(b)\frac{\sqrt{2\sqrt{a^2+b^2}-2a}}2\right)^2=a+ib.$$
Réponses
On calcule le discriminant etc...
Et vu que $-4i=2\times (-2i)$ et que $-2i=(1-i)^2$ tu obtiens:
$z^2+4i=0 \Longleftrightarrow z^2=2(1-i)^2$.
A toi de finir.
Dans le plan complexe, une addition est une translation, une multiplication par un réel est une homothétie, et une multiplication par un complexe est une rotation. Quand tu mets au carré, tu appliques 2 fois la même transformation. Pour l'homothétie répétée, il suffit de prendre la racine carrée pour retrouver le coefficient initial. Il reste la partie complexe. Quelle est la rotation, autour du centre d'affixe 0, du point d'affixe 1, qui, répétée, tombe sur -i ?
Réponse : il y en a 2 (au moins, on néglige "2*k*pi près"). Celle dans le sens directe, et celle dans le sens indirect.
Et on retrouve le résultat, a priori compliqué, mais finalement totalement logique.
$x=\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i$ ou $x=-\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}i$
le mieux est de garder la forme polaire (ou exponentielle) jusqu'au bout :
$x^2 = - 4i = -4 e^{i\frac{\pi}{2}} = 4 e^{\frac{3ipi}{2} + 2ki\pi}$
et donc $x = 2e^{\frac{3i\pi}{4} + ki\pi}$ soit deux racines complexes :
pour k = 0 il vient : $x = 2e^{\frac{3i\pi}{4}}= - \sqrt{2}(1 - i)$
et pour k = - 1 il vient $x = 2e^{\frac{-i\pi}{4}} = \sqrt{2}(1 - i)$
tu passes d'une solution à l'autre par une rotation de centre 0 et d'angle $\pi$ ou $-\pi$ du point image
cordialement
Quel est ton niveau d'études ?